Номер 122, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Правильная треугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен $2\sqrt{3}$ см. Площадь боковой поверхности призмы равна $180 \text{ см}^2$. Найдите высоту цилиндра.

122. Правильная треугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен $2\sqrt{3}$ см. Площадь боковой поверхности призмы равна $180 \text{ см}^2$. Найдите высоту цилиндра.

Поскольку правильная треугольная призма описана около цилиндра, это означает, что цилиндр вписан в призму. Следовательно, основания цилиндра (окружности) вписаны в основания призмы (правильные треугольники), а высота цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы $H_{пр}$.

В основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник, в который вписана окружность, являющаяся основанием цилиндра. Радиус этой вписанной окружности дан по условию: $r = 2\sqrt{3}$ см.

Связь между стороной равностороннего треугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r$ выражается формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Выразим сторону треугольника $a$ из этой формулы:

$a = r \cdot 2\sqrt{3}$

Подставим известное значение радиуса:

$a = 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H_{пр}$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H_{пр}$

Периметр основания (равностороннего треугольника) равен:

$P_{осн} = 3a = 3 \cdot 12 = 36$ см.

По условию, площадь боковой поверхности призмы $S_{бок} = 180 \text{ см}^2$. Теперь мы можем найти высоту призмы:

$H_{пр} = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{180}{36} = 5$ см.

Так как высота цилиндра равна высоте призмы, высота цилиндра также равна 5 см.

Ответ: 5 см.