Номер 124, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, большее основание и боковая сторона которой равны соответственно 27 см и 15 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{370}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, большее основание и боковая сторона которой равны соответственно 27 см и 15 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{370}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Поскольку в призму вписан цилиндр, то призма является прямой, а в ее основание — равнобокую трапецию — можно вписать окружность. Эта окружность является основанием вписанного цилиндра.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона — $c$. По условию, большее основание $a = 27$ см, боковая сторона $c = 15$ см.

В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции это свойство выглядит так: $a + b = 2c$.
Найдем меньшее основание $b$:
$27 + b = 2 \cdot 15$
$27 + b = 30$
$b = 3$ см.

Высота трапеции $h$ является диаметром вписанной окружности. Чтобы найти высоту, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c$, а одним из катетов — отрезок, равный полуразности оснований.
Длина этого катета: $\frac{a-b}{2} = \frac{27-3}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

Радиус вписанной окружности (и основания цилиндра) $r$ равен половине высоты трапеции:
$r = \frac{h}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

Теперь найдем высоту призмы $H$. Квадрат диагонали прямой призмы $D_{призмы}$ равен сумме квадратов ее высоты $H$ и диагонали ее основания $d_{осн}$: $D_{призмы}^2 = d_{осн}^2 + H^2$.
Сначала найдем квадрат диагонали основания (трапеции). Диагональ $d_{осн}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — это высота трапеции $h$ и отрезок на большем основании, равный $a - \frac{a-b}{2}$.
Длина этого отрезка: $27 - 12 = 15$ см.
Найдем квадрат диагонали основания по теореме Пифагора:
$d_{осн}^2 = h^2 + 15^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306$.

Теперь найдем высоту призмы $H$. По условию $D_{призмы} = \sqrt{370}$ см.
$D_{призмы}^2 = d_{осн}^2 + H^2$
$(\sqrt{370})^2 = 306 + H^2$
$370 = 306 + H^2$
$H^2 = 370 - 306 = 64$
$H = \sqrt{64} = 8$ см.
Высота вписанного цилиндра равна высоте призмы, то есть $H_{цил} = 8$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок. цил.} = 2\pi r H_{цил}$.
$S_{бок. цил.} = 2 \cdot \pi \cdot 4.5 \cdot 8 = 9\pi \cdot 8 = 72\pi$ см$^2$.

Ответ: $72\pi$ см$^2$.