Номер 125, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Основанием призмы является ромб, большая диагональ которого равна $d$, а тупой угол равен $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

125. Основанием призмы является ромб, большая диагональ которого равна $d$, а тупой угол равен $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Площадь осевого сечения цилиндра $S_{ос}$ вычисляется как произведение его диаметра $D_{ц}$ на высоту $H_{ц}$: $S_{ос} = D_{ц} \cdot H_{ц}$. Для решения задачи необходимо найти эти две величины, исходя из данных об описанной призме.

1. Нахождение диаметра основания цилиндра

Поскольку цилиндр вписан в призму, его основание (окружность) вписано в основание призмы (ромб). Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте этого ромба, $h_{ромба}$. Таким образом, $D_{ц} = h_{ромба}$.

Рассмотрим ромб в основании. Дано: большая диагональ равна $d$, тупой угол равен $\alpha$. Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Углы этих треугольников равны $\frac{\alpha}{2}$ и $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Половина большей диагонали $\frac{d}{2}$ является катетом, противолежащим углу $\frac{\alpha}{2}$.

Пусть сторона ромба равна $a$. Из прямоугольного треугольника имеем: $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{a}$, откуда сторона ромба $a = \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Площадь ромба можно выразить как $S_{ромба} = a \cdot h_{ромба}$ или как $S_{ромба} = a^2 \sin(\alpha)$. Отсюда высота ромба $h_{ромба} = a \sin(\alpha)$.

Подставим найденное выражение для стороны $a$ и используем формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$: $h_{ромба} = \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \left(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})\right) = d \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Таким образом, диаметр основания вписанного цилиндра равен: $D_{ц} = d \cos(\frac{\alpha}{2})$.

2. Нахождение высоты цилиндра

Высота вписанного цилиндра $H_{ц}$ совпадает с высотой призмы $H_{п}$. Из условия задачи известно, что меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$.

Эта диагональ, высота призмы $H_{п}$ и меньшая диагональ ромба $d_{м}$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H_{п}$ является катетом, противолежащим углу $\beta$, а $d_{м}$ — прилежащим катетом. Следовательно: $\tan(\beta) = \frac{H_{п}}{d_{м}}$, откуда $H_{п} = d_{м} \cdot \tan(\beta)$.

Найдем меньшую диагональ ромба $d_{м}$. В том же прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей, имеем: $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{d_{м}/2} = \frac{d}{d_{м}}$.

Отсюда $d_{м} = \frac{d}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = d \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можно найти высоту цилиндра: $H_{ц} = H_{п} = d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$.

3. Вычисление площади осевого сечения

Зная диаметр $D_{ц}$ и высоту $H_{ц}$, вычисляем площадь осевого сечения цилиндра: $S_{ос} = D_{ц} \cdot H_{ц} = \left(d \cos(\frac{\alpha}{2})\right) \cdot \left(d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)\right)$.

Упростим полученное выражение, используя тождество $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$: $S_{ос} = d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \tan(\beta) = d^2 \frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta)$.

Ответ: $d^2 \frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta)$.