Номер 132, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, высота которого равна $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

132. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, высота которого равна $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, вершинами которого являются вершина конуса и концы диаметра основания. По условию, это сечение является равносторонним треугольником. Обозначим сторону этого треугольника как $a$.

В этом случае образующая конуса $l$ равна стороне треугольника $a$, а диаметр основания $d$ также равен стороне треугольника $a$. Высота конуса $H$ совпадает с высотой этого равностороннего треугольника.

Высота $H$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

По условию задачи, $H = 3\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти сторону $a$:

$3\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$3 = \frac{a}{2}$

Отсюда находим $a$:

$a = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Теперь мы можем определить параметры конуса:

Образующая конуса: $l = a = 6$ см.

Диаметр основания: $d = a = 6$ см.

Радиус основания: $R = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi R l$.

Таким образом, формула для площади полной поверхности конуса имеет вид:

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi R l = \pi R(R+l)$

Подставим найденные значения $R = 3$ см и $l = 6$ см:

$S_{полн} = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 6) = 3\pi \cdot 9 = 27\pi$ см².

Ответ: $27\pi$ см².