Страница 89 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. В правильную четырёхугольную призму вписан ци-линдр, высота которого равна $H$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

128. В правильную четырёхугольную призму вписан цилиндр, высота которого равна $H$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма. Это означает, что в её основании лежит правильный четырёхугольник (квадрат), а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Обозначим сторону квадрата в основании как $a$.

В призму вписан цилиндр. Это значит, что основания цилиндра (окружности) вписаны в основания призмы (квадраты), а высота цилиндра равна высоте призмы. По условию, высота цилиндра равна $H$, следовательно, высота призмы также равна $H$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$
где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Так как основание призмы — квадрат со стороной $a$, его периметр равен $P_{осн} = 4a$. Подставив это в формулу, получим:
$S_{бок} = 4aH$

Чтобы найти площадь, нам нужно выразить сторону $a$ через известные величины $H$ и $\alpha$.

Рассмотрим вписанный цилиндр. Так как его основание (окружность) вписано в квадратное основание призмы, диаметр окружности $D$ равен стороне квадрата $a$. Таким образом, $D = a$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D$ и высоте цилиндра $H$. По условию, диагональ этого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения, диаметром основания $D$ и высотой цилиндра $H$. В этом треугольнике:

• катет, противолежащий углу $\alpha$, — это высота $H$;
• катет, прилежащий к углу $\alpha$, — это диаметр $D$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике следует:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{D}$

Выразим из этой формулы диаметр $D$:
$D = \frac{H}{\tan(\alpha)} = H \cot(\alpha)$

Поскольку сторона основания призмы $a$ равна диаметру $D$, получаем:
$a = H \cot(\alpha)$

Теперь подставим найденное выражение для $a$ в формулу площади боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = 4aH = 4(H \cot(\alpha))H = 4H^2 \cot(\alpha)$

Ответ: $4H^2 \cot(\alpha)$

129. Высота конуса равна 6 см, а радиус основания — $3\sqrt{5}$ см. Найдите образующую конуса.

129. Высота конуса равна 6 см, а радиус основания – $3\sqrt{5}$ см. Найдите образующую конуса.

Для нахождения образующей конуса воспользуемся тем фактом, что высота конуса (h), радиус его основания (r) и образующая (l) связаны через теорему Пифагора. Они образуют прямоугольный треугольник, где высота и радиус являются катетами, а образующая — гипотенузой.

Соотношение между ними выражается формулой:
$l^2 = h^2 + r^2$

По условию задачи даны следующие значения:
Высота $h = 6$ см.
Радиус основания $r = 3\sqrt{5}$ см.

Подставим эти значения в формулу и произведем расчеты:
$l^2 = 6^2 + (3\sqrt{5})^2$
$l^2 = 36 + (3^2 \cdot (\sqrt{5})^2)$
$l^2 = 36 + (9 \cdot 5)$
$l^2 = 36 + 45$
$l^2 = 81$

Теперь найдем длину образующей $l$, извлекая квадратный корень из полученного значения:
$l = \sqrt{81}$
$l = 9$ см.

Ответ: 9 см.

130. Высота конуса равна 24 см, а радиус его основания на 18 см меньше образующей. Найдите площадь осевого сечения конуса.

130. Высота конуса равна 24 см, а радиус его основания на 18 см меньше образующей. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, у которого основание равно диаметру основания конуса ($D$), а боковые стороны — образующим конуса ($L$). Высота этого треугольника совпадает с высотой конуса ($H$).

Площадь осевого сечения ($S_{сеч}$) можно найти по формуле площади треугольника:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H$

Поскольку диаметр $D = 2R$, где $R$ — это радиус основания, формула принимает вид:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$

Из условия задачи нам известно, что высота конуса $H = 24$ см. Также известно, что радиус основания на 18 см меньше образующей. Запишем это соотношение:

$R = L - 18$, откуда $L = R + 18$.

Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора имеем:

$L^2 = H^2 + R^2$

Подставим в это уравнение известные нам величины и выражения:

$(R + 18)^2 = 24^2 + R^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$R^2 + 2 \cdot R \cdot 18 + 18^2 = 576 + R^2$

$R^2 + 36R + 324 = 576 + R^2$

Теперь решим получившееся уравнение. Вычтем $R^2$ из обеих частей:

$36R + 324 = 576$

$36R = 576 - 324$

$36R = 252$

$R = \frac{252}{36}$

$R = 7$ см

Теперь, когда мы нашли радиус основания, мы можем вычислить площадь осевого сечения:

$S_{сеч} = R \cdot H = 7 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 168 \text{ см}^2$

Ответ: $168$ см$^2$.

131. Радиус основания конуса равен 12 см, а высота — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

131. Радиус основания конуса равен 12 см, а высота — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l$, где $r$ – это радиус основания конуса, а $l$ – это длина его образующей.

Из условия задачи нам даны радиус основания $r = 12$ см и высота конуса $h = 9$ см. Длину образующей $l$ можно найти с помощью теоремы Пифагора, так как радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой.

Найдем образующую $l$:

$l^2 = r^2 + h^2$

$l^2 = 12^2 + 9^2$

$l^2 = 144 + 81$

$l^2 = 225$

$l = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь, когда мы знаем радиус и образующую, мы можем найти площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi \cdot 12 \cdot 15 = 180\pi$ см².

Ответ: $180\pi$ см².

132. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, высота которого равна $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

132. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, высота которого равна $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, вершинами которого являются вершина конуса и концы диаметра основания. По условию, это сечение является равносторонним треугольником. Обозначим сторону этого треугольника как $a$.

В этом случае образующая конуса $l$ равна стороне треугольника $a$, а диаметр основания $d$ также равен стороне треугольника $a$. Высота конуса $H$ совпадает с высотой этого равностороннего треугольника.

Высота $H$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

По условию задачи, $H = 3\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти сторону $a$:

$3\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$3 = \frac{a}{2}$

Отсюда находим $a$:

$a = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Теперь мы можем определить параметры конуса:

Образующая конуса: $l = a = 6$ см.

Диаметр основания: $d = a = 6$ см.

Радиус основания: $R = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi R l$.

Таким образом, формула для площади полной поверхности конуса имеет вид:

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi R l = \pi R(R+l)$

Подставим найденные значения $R = 3$ см и $l = 6$ см:

$S_{полн} = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 6) = 3\pi \cdot 9 = 27\pi$ см².

Ответ: $27\pi$ см².

133. Радиус основания конуса равен $R$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

133. Радиус основания конуса равен $R$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.

Согласно условию задачи, радиус основания конуса $r = R$. Для нахождения площади боковой поверхности нам необходимо определить длину образующей $l$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса ($H$), радиусом его основания ($R$) и образующей ($l$). В этом треугольнике:

• Образующая $l$ является гипотенузой.
• Радиус $R$ является катетом.
• Высота $H$ является вторым катетом.

Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между образующей $l$ (гипотенузой) и радиусом $R$ (прилежащим катетом). По условию, этот угол равен $\alpha$.

Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике, мы можем связать радиус, образующую и угол $\alpha$: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{R}{l}$

Из этого соотношения выразим длину образующей $l$: $l = \frac{R}{\cos(\alpha)}$

Теперь, зная радиус $r=R$ и длину образующей $l = \frac{R}{\cos(\alpha)}$, мы можем подставить эти значения в формулу площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot R \cdot \frac{R}{\cos(\alpha)}$

Упростив выражение, получаем окончательную формулу: $S_{бок} = \frac{\pi R^2}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $ \frac{\pi R^2}{\cos(\alpha)} $

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Радиус основания конуса равен 14 см, а высота — $7\sqrt{2}$ см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна 90°. Радиус основания конуса равен 14 см, а высота — $7\sqrt{2}$ см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, а плоскость сечения проходит через вершину S и пересекает основание по хорде AB. Угол между плоскостью сечения (SAB) и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями.

Для нахождения этого угла построим его линейную меру. Проведем из центра основания O перпендикуляр OM к хорде AB. Так как треугольник AOB равнобедренный (OA = OB как радиусы), то OM является также его медианой и биссектрисой.

Соединим точки S и M. SM — медиана в равнобедренном треугольнике SAB (SA = SB как образующие конуса), а значит, SM является и его высотой, то есть $SM \perp AB$.

Поскольку $OM \perp AB$ и $SM \perp AB$, то угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Нам нужно найти величину этого угла.

Рассмотрим треугольник SOM. SO — высота конуса, поэтому $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку O. Следовательно, $SO \perp OM$, и треугольник SOM — прямоугольный.

Для нахождения угла $\angle SMO$ нам нужно знать длины катетов SO и OM.

1. По условию, высота конуса $SO = H = 7\sqrt{2}$ см.

2. Найдем длину OM. Рассмотрим треугольник AOB в основании конуса. По условию, хорда AB стягивает дугу в 90°. Это означает, что центральный угол $\angle AOB = 90°$. Треугольник AOB является прямоугольным и равнобедренным, где катеты $OA = OB = R = 14$ см. OM — это высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике OMA ($\angle OMA = 90°$) угол $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{90°}{2} = 45°$. Тогда катет OM можно найти как:$OM = OA \cdot \cos(\angle AOM) = 14 \cdot \cos(45°) = 14 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$ см.

3. Теперь в прямоугольном треугольнике SOM мы знаем длины обоих катетов: $SO = 7\sqrt{2}$ см и $OM = 7\sqrt{2}$ см. Найдем тангенс искомого угла $\angle SMO$:$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{7\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} = 1$.

Угол, тангенс которого равен 1, составляет 45°.

Ответ: 45°.

135. В основании конуса проведена хорда, которая видна из его вершины под углом $ \alpha $. Высота конуса равна $ H $, а угол между образующей и плоскостью основания равен $ \beta $. Найдите проведённую хорду.

135. В основании конуса проведена хорда, которая видна из его вершины под углом $ \alpha $. Высота конуса равна $ H $, а угол между образующей и плоскостью основания равен $ \beta $. Найдите проведённую хорду.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, а $A$ и $B$ — концы данной хорды. Высота конуса $SO$ по условию равна $H$. Образующие $SA$ и $SB$ соединяют вершину с концами хорды. Длины всех образующих одного конуса равны, поэтому $SA = SB$. Обозначим длину образующей через $L$.

Рассмотрим треугольник $SOA$, который является прямоугольным, так как высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания ($∠SOA = 90^\circ$). Угол между образующей $SA$ и плоскостью основания — это угол между прямой $SA$ и ее проекцией $OA$ на эту плоскость. Следовательно, по условию $\angle SAO = \beta$. В этом треугольнике катет $SO=H$ является противолежащим углу $\beta$, а гипотенуза — это образующая $SA=L$. Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике следует:
$\sin(\beta) = \frac{SO}{SA} = \frac{H}{L}$
Отсюда мы можем выразить длину образующей $L$:
$L = \frac{H}{\sin(\beta)}$

Теперь рассмотрим треугольник $ASB$. Этот треугольник является равнобедренным, так как боковые стороны $SA = SB = L$. Угол при вершине $S$, под которым видна хорда $AB$ из вершины конуса, по условию равен $\alpha$, то есть $\angle ASB = \alpha$. Искомая длина хорды — это длина основания $AB$ этого треугольника.

Для нахождения длины стороны $AB$ в треугольнике $ASB$ можно применить теорему косинусов. Или, что проще, проведем высоту $SM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ — середина $AB$ ($AM = \frac{1}{2}AB$) и $\angle ASM = \frac{1}{2}\angle ASB = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ASM$ ($∠SMA = 90^\circ$). По определению синуса острого угла:
$\sin(\angle ASM) = \frac{AM}{SA}$
Подставив известные значения, получим:
$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AB/2}{L}$
Отсюда выразим длину хорды $AB$:
$AB = 2L \sin(\frac{\alpha}{2})$

Наконец, подставим в полученное выражение для $AB$ найденное ранее выражение для $L$:
$AB = 2 \cdot \left(\frac{H}{\sin(\beta)}\right) \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{2H\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)}$

Ответ: $\frac{2H\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)}$

136. Через две образующие конуса проведено сечение.

Угол между одной из этих образующих и хордой, по которой проведённое сечение пересекает основание, равен $\alpha$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $\beta$.

Высота конуса равна $h$. Найдите площадь проведённого сечения.

136. Через две образующие конуса проведено сечение. Угол между одной из этих образующих и хордой, по которой проведённое сечение пересекает основание, равен $\alpha$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $\beta$. Высота конуса равна $h$. Найдите площадь проведённого сечения.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, а $SO = h$ — высота. Сечение, о котором идет речь в задаче, представляет собой треугольник $SAB$, где $SA$ и $SB$ — образующие конуса, а $AB$ — хорда в круге основания. Так как все образующие конуса равны, треугольник $SAB$ является равнобедренным ($SA = SB$).

Обозначим длину образующей как $L$, т.е. $SA = SB = L$.

Согласно условию, угол между одной из образующих ($SA$) и хордой ($AB$) равен $\alpha$. В равнобедренном треугольнике $SAB$ это будут углы при основании: $\angle SAB = \angle SBA = \alpha$.

Угол между образующей ($SA$) и плоскостью основания — это угол между прямой $SA$ и её проекцией на эту плоскость. Проекцией точки $S$ является центр основания $O$, а проекцией точки $A$ является сама точка $A$. Следовательно, проекцией образующей $SA$ является отрезок $OA$ (радиус основания), и по условию $\angle SAO = \beta$.

1. Найдем длину образующей $L$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$, так как $SO$ — высота конуса). В этом треугольнике катет $SO = h$ противолежит углу $\beta$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(\beta) = \frac{SO}{SA} = \frac{h}{L}$
Отсюда выразим длину образующей $L$:
$L = \frac{h}{\sin(\beta)}$

2. Найдем площадь сечения $S_{SAB}$
Площадь треугольника $SAB$ можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB)$
Поскольку $SA = SB = L$, формула приобретает вид:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} L^2 \sin(\angle ASB)$
Найдем угол $\angle ASB$. Сумма углов в треугольнике $SAB$ равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle ASB = 180^\circ - (\angle SAB + \angle SBA) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$
Используем формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, чтобы найти синус угла при вершине:
$\sin(\angle ASB) = \sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$
Подставим это значение в формулу площади:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} L^2 \sin(2\alpha)$

3. Выразим площадь через заданные величины
Теперь подставим выражение для $L$, найденное в первом шаге, в формулу для площади:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \left(\frac{h}{\sin(\beta)}\right)^2 \sin(2\alpha)$
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \frac{h^2}{\sin^2(\beta)} \sin(2\alpha) = \frac{h^2 \sin(2\alpha)}{2\sin^2(\beta)}$

Ответ: $\frac{h^2 \sin(2\alpha)}{2\sin^2(\beta)}$