Страница 86 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 16 см, которую видно из центра этого основания под углом 120°. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 16 см, которую видно из центра этого основания под углом 120°. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Для решения задачи необходимо найти значения $R$ и $H$, исходя из данных условия.

1. Нахождение радиуса основания R.

Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Пусть $O$ — центр этого основания, а $AB$ — данная хорда, длина которой по условию равна 16 см. Угол, под которым хорда видна из центра, составляет $120^\circ$, то есть $\angle AOB = 120^\circ$. Треугольник $AOB$ является равнобедренным, так как его боковые стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу основания $R$.

Проведем в треугольнике $AOB$ высоту $OM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, треугольник $AOM$ — прямоугольный, и в нем:

• $AM = \frac{1}{2} AB = \frac{16}{2} = 8$ см.
• $\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $AOM$ найдем гипотенузу $OA$, которая равна радиусу $R$. Используем для этого синус угла $\angle AOM$:

$\sin(\angle AOM) = \frac{AM}{OA} \implies \sin(60^\circ) = \frac{8}{R}$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{R}$

Отсюда находим радиус:

$R = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра H.

Пусть $O'$ — центр верхнего основания цилиндра. Отрезок $O'A$ соединяет центр верхнего основания с концом хорды $A$ в нижнем основании. По условию, этот отрезок образует с плоскостью нижнего основания угол $60^\circ$.

Проекцией наклонного отрезка $O'A$ на плоскость нижнего основания является радиус $OA$. Угол между наклонной и ее проекцией и есть угол между отрезком и плоскостью. Таким образом, $\angle O'AO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $O'OA$. Он является прямоугольным, поскольку высота цилиндра $OO' = H$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и радиусу $OA$. В этом треугольнике:

• $OA = R = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см (катет).
• $OO' = H$ (катет).
• $\angle O'AO = 60^\circ$.

Найдем высоту $H$ через тангенс угла $\angle O'AO$:

$\tan(\angle O'AO) = \frac{OO'}{OA} = \frac{H}{R}$

$H = R \cdot \tan(60^\circ) = \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{16 \cdot 3}{3} = 16$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра.

Теперь, когда известны радиус $R = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см и высота $H = 16$ см, мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра по формуле:

$S_{бок} = 2\pi RH$

$S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot 16 = \frac{2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \pi\sqrt{3}}{3} = \frac{512\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $ \frac{512\pi\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2 $.

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $ \alpha $, а из центра верхнего основания — под углом $ \beta $. Расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно $ a $. Найдите высоту цилиндра.

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно $a$. Найдите высоту цилиндра.

Пусть $O_1$ — центр нижнего основания, а $O_2$ — центр верхнего основания цилиндра. Пусть $AB$ — хорда, проведенная в нижнем основании. Высота цилиндра равна $H = O_1O_2$.

По условию задачи, хорду $AB$ видно из центра нижнего основания $O_1$ под углом $\alpha$, что означает $\angle AO_1B = \alpha$. Эту же хорду видно из центра верхнего основания $O_2$ под углом $\beta$, то есть $\angle AO_2B = \beta$. Расстояние от центра нижнего основания $O_1$ до хорды $AB$ равно $a$.

Обозначим середину хорды $AB$ буквой $M$. Тогда отрезок $O_1M$ перпендикулярен хорде $AB$, и его длина равна заданному расстоянию, то есть $O_1M = a$. В равнобедренном треугольнике $AO_1B$ (где $O_1A$ и $O_1B$ — радиусы), отрезок $O_1M$ является высотой, медианой и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. Угол $\angle AO_1M$ равен половине центрального угла, то есть $\angle AO_1M = \frac{\alpha}{2}$. Из этого треугольника мы можем выразить половину длины хорды, $AM$:

$\frac{AM}{O_1M} = \tan(\angle AO_1M) \implies AM = a \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AO_2B$. Он также является равнобедренным, так как отрезки $O_2A$ и $O_2B$ соединяют центр верхнего основания с точками на окружности нижнего основания. Отрезок $O_2M$, соединяющий вершину $O_2$ с серединой основания $AB$, является медианой, высотой и биссектрисой этого треугольника.

Таким образом, треугольник $\triangle O_2MA$ является прямоугольным, а угол $\angle AO_2M = \frac{\beta}{2}$. Из этого треугольника также выразим $AM$:

$\frac{AM}{O_2M} = \tan(\angle AO_2M) \implies AM = O_2M \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Ось цилиндра $O_1O_2$ перпендикулярна плоскости нижнего основания, а значит, перпендикулярна любому отрезку в этой плоскости, проходящему через точку $O_1$. Следовательно, $O_1O_2 \perp O_1M$. Это означает, что треугольник $\triangle O_1O_2M$ является прямоугольным с катетами $O_1O_2 = H$ и $O_1M = a$. По теореме Пифагора, длина гипотенузы $O_2M$ равна:

$O_2M = \sqrt{O_1O_2^2 + O_1M^2} = \sqrt{H^2 + a^2}$.

Теперь у нас есть два выражения для $AM$. Приравняем их, подставив найденное выражение для $O_2M$:

$a \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{H^2 + a^2} \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Выразим из этого уравнения высоту $H$. Сначала выразим $\sqrt{H^2 + a^2}$:

$\sqrt{H^2 + a^2} = \frac{a \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\frac{\beta}{2})} = a \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Возведем обе части равенства в квадрат:

$H^2 + a^2 = a^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Перенесем $a^2$ в правую часть и вынесем за скобки:

$H^2 = a^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - a^2 = a^2 \left( \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - 1 \right)$.

Наконец, извлечем квадратный корень, чтобы найти $H$:

$H = a \sqrt{\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - 1}$.

Ответ: $a \sqrt{\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - 1}$.

108. Радиус основания цилиндра равен 5 см. На расстоянии 3 см от оси цилиндра параллельно ей проведено сечение. Найдите высоту цилиндра, если диагональ сечения равна 17 см.

108. Радиус основания цилиндра равен 5 см. На расстоянии 3 см от оси цилиндра параллельно ей проведено сечение. Найдите высоту цилиндра, если диагональ сечения равна 17 см.

Поскольку сечение проведено параллельно оси цилиндра, оно представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона – хорде $w$ в основании цилиндра. Диагональ этого прямоугольника $d$ дана и равна 17 см.

Сначала найдем длину хорды $w$. Рассмотрим основание цилиндра – круг с радиусом $R = 5$ см. Хорда $w$ находится на расстоянии $l = 3$ см от центра круга. Радиус, проведенный к концу хорды, расстояние от центра до хорды и половина хорды образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике радиус $R$ является гипотенузой, а расстояние $l$ и половина хорды $(\frac{w}{2})$ – катетами.

По теореме Пифагора: $R^2 = l^2 + (\frac{w}{2})^2$

Подставим известные значения: $5^2 = 3^2 + (\frac{w}{2})^2$ $25 = 9 + (\frac{w}{2})^2$ $(\frac{w}{2})^2 = 25 - 9 = 16$ $\frac{w}{2} = \sqrt{16} = 4$ см

Следовательно, длина хорды (ширина сечения) равна: $w = 2 \times 4 = 8$ см

Теперь рассмотрим прямоугольник сечения. Его стороны – это высота цилиндра $H$ и ширина $w = 8$ см, а диагональ $d = 17$ см. Эти величины связаны теоремой Пифагора: $d^2 = H^2 + w^2$

Выразим высоту $H$: $H^2 = d^2 - w^2$

Подставим известные значения: $H^2 = 17^2 - 8^2$ $H^2 = 289 - 64 = 225$ $H = \sqrt{225} = 15$ см

Таким образом, высота цилиндра равна 15 см.

Ответ: 15 см.

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Проведённое сечение является квадратом, а радиус основания цилиндра равен $8\sqrt{2}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Проведённое сечение является квадратом, а радиус основания цилиндра равен $8\sqrt{2}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

По условию, сечение проведено параллельно оси цилиндра. Такое сечение представляет собой прямоугольник. Две его стороны — это образующие цилиндра, равные его высоте $H$, а две другие — параллельные хорды в верхнем и нижнем основаниях. Пусть длина этой хорды равна $a$.

Так как сечение является квадратом, то его стороны равны, то есть высота цилиндра равна длине хорды: $H = a$.

Рассмотрим основание цилиндра. Хорда $a$ отсекает от окружности основания дугу в $90^\circ$. Соединим концы хорды с центром окружности. Мы получим равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны радиусу основания $R = 8\sqrt{2}$ см, а основание — хорда $a$. Угол между боковыми сторонами (радиусами) — это центральный угол, который равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, этот угол равен $90^\circ$.

Таким образом, мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник, где катеты — это радиусы $R$, а гипотенуза — хорда $a$. По теореме Пифагора найдем длину хорды $a$:
$a^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$
$a = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Подставим значение радиуса $R = 8\sqrt{2}$ см:
$a = (8\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Поскольку сечение — квадрат, высота цилиндра $H$ равна стороне $a$:
$H = a = 16$ см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$:
$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot (8\sqrt{2}) \cdot 16 = 256\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

Ответ: $256\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра, которое параллельно его оси и находится от неё на расстоянии, равном трети радиуса основания цилиндра.

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра, которое параллельно его оси и находится от неё на расстоянии, равном трети радиуса основания цилиндра.

Пусть $h$ — высота цилиндра, а $r$ — радиус его основания.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$ (диаметр основания). Площадь осевого сечения $S$ равна:

$S = 2r \cdot h$

Отсюда можно выразить произведение $r \cdot h$:

$r \cdot h = \frac{S}{2}$

Сечение цилиндра, параллельное его оси, также является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$. Другая сторона — это хорда основания цилиндра. Обозначим длину этой хорды как $a$.

Чтобы найти длину хорды $a$, рассмотрим основание цилиндра. Это окружность радиуса $r$. По условию, расстояние от центра окружности (оси цилиндра) до хорды равно $\frac{r}{3}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведенным к одному из концов хорды (гипотенуза), половиной хорды (катет) и перпендикуляром от центра к хорде (второй катет).

По теореме Пифагора:

$r^2 = (\frac{r}{3})^2 + (\frac{a}{2})^2$

Выразим $(\frac{a}{2})^2$:

$(\frac{a}{2})^2 = r^2 - \frac{r^2}{9} = \frac{9r^2 - r^2}{9} = \frac{8r^2}{9}$

Теперь найдем половину хорды $\frac{a}{2}$:

$\frac{a}{2} = \sqrt{\frac{8r^2}{9}} = \frac{\sqrt{8} \cdot r}{3} = \frac{2\sqrt{2}r}{3}$

Тогда вся хорда $a$ равна:

$a = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}r}{3} = \frac{4\sqrt{2}r}{3}$

Площадь искомого сечения $S_{сеч}$ равна произведению его сторон $a$ и $h$:

$S_{сеч} = a \cdot h = \frac{4\sqrt{2}r}{3} \cdot h = \frac{4\sqrt{2}}{3} (r \cdot h)$

Подставим ранее найденное выражение $r \cdot h = \frac{S}{2}$:

$S_{сеч} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{S}{2} = \frac{2\sqrt{2}S}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}S}{3}$

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $45^\circ$. Площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$ равна $S$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $45^\circ$. Площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$ равна $S$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть высота цилиндра равна $h$, а радиус его основания равен $R$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник $AA_1B_1B$, где $AA_1$ — образующая, равная высоте цилиндра $h$, а $AB$ — диаметр основания, равный $2R$. Площадь осевого сечения, которую нам нужно найти, равна: $S_{осевое} = AB \cdot AA_1 = 2R \cdot h$.

Сечение цилиндра плоскостью $AA_1C$ — это прямоугольник $AA_1C_1C$, так как образующая $AA_1$ перпендикулярна основанию, а значит и хорде $AC$. Площадь этого сечения по условию равна $S$: $S = AC \cdot AA_1 = AC \cdot h$.

Угол между плоскостями $(AA_1B)$ и $(AA_1C)$ — это двугранный угол. Линия пересечения этих плоскостей — образующая $AA_1$. Так как образующая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания цилиндра, то и любые прямые, лежащие в плоскости основания, будут ей перпендикулярны. Прямые $AB$ и $AC$ лежат в плоскости основания и проходят через точку $A$ на прямой $AA_1$. Следовательно, угол между плоскостями равен линейному углу между лучами $AB$ и $AC$, то есть $\angle CAB$. По условию, $\angle CAB = 45^\circ$.

Рассмотрим основание цилиндра. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания. Отрезок $AB$ является диаметром. Треугольник $ABC$ вписан в эту окружность. Поскольку угол $\angle ACB$ опирается на диаметр $AB$, он является прямым: $\angle ACB = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $ABC$ — прямоугольный. В этом треугольнике нам известен катет $AC$, гипотенуза $AB$ и угол $\angle CAB = 45^\circ$. Мы можем связать катет $AC$ и гипотенузу $AB$ через косинус угла: $\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB}$ $\cos(45^\circ) = \frac{AC}{AB}$ $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AC}{AB}$ Отсюда выразим $AB$: $AB = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2AC}{\sqrt{2}} = AC\sqrt{2}$.

Теперь вернемся к формулам для площадей. Мы ищем $S_{осевое} = AB \cdot h$. Нам дана $S = AC \cdot h$.

Подставим в формулу для площади осевого сечения выражение для $AB$, которое мы нашли: $S_{осевое} = (AC\sqrt{2}) \cdot h = (AC \cdot h) \cdot \sqrt{2}$. Так как $AC \cdot h = S$, получаем: $S_{осевое} = S\sqrt{2}$.

Ответ: $S\sqrt{2}$.

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна $S$, а диагональ сечения образует с плоскостью основания угол $\phi$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с осью цилиндра угол $\alpha$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна $S$, а диагональ сечения образует с плоскостью основания угол $\phi$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с осью цилиндра угол $\alpha$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

Пусть $H$ — высота цилиндра, а $R$ — радиус его основания.

Сечение, параллельное оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Обозначим его стороны как $a$ и $H$. Сторона $a$ является хордой в основании цилиндра, а сторона $H$ равна высоте цилиндра. Площадь этого сечения равна $S$, следовательно, $S = a \cdot H$.

Диагональ сечения $d$ образует с плоскостью основания угол $\phi$. Эта диагональ, сторона сечения $a$ (которая лежит в плоскости основания) и высота $H$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H$ является катетом, противолежащим углу $\phi$, а $a$ — прилежащим катетом. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\tan(\phi) = \frac{H}{a}$

Из этого соотношения выразим сторону $a$:

$a = \frac{H}{\tan(\phi)}$

Подставим это выражение для $a$ в формулу площади сечения:

$S = \frac{H}{\tan(\phi)} \cdot H = \frac{H^2}{\tan(\phi)}$

Отсюда найдем высоту цилиндра $H$:

$H^2 = S \cdot \tan(\phi)$
$H = \sqrt{S \cdot \tan(\phi)}$

Теперь рассмотрим второе условие. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с осью цилиндра угол $\alpha$. Этот отрезок является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота цилиндра $H$ (совпадающая с осью) и радиус основания $R$. Угол $\alpha$ является углом, прилежащим к катету $H$. Таким образом, мы можем записать:

$\tan(\alpha) = \frac{R}{H}$

Отсюда выразим радиус основания $R$:

$R = H \cdot \tan(\alpha)$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $H$:

$R = \sqrt{S \cdot \tan(\phi)} \cdot \tan(\alpha) = \tan(\alpha)\sqrt{S \cdot \tan(\phi)}$

Ответ: Высота цилиндра $H = \sqrt{S \cdot \tan(\phi)}$, радиус его основания $R = \tan(\alpha)\sqrt{S \cdot \tan(\phi)}$.