Номер 110, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра, которое параллельно его оси и находится от неё на расстоянии, равном трети радиуса основания цилиндра.

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра, которое параллельно его оси и находится от неё на расстоянии, равном трети радиуса основания цилиндра.

Пусть $h$ — высота цилиндра, а $r$ — радиус его основания.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$ (диаметр основания). Площадь осевого сечения $S$ равна:

$S = 2r \cdot h$

Отсюда можно выразить произведение $r \cdot h$:

$r \cdot h = \frac{S}{2}$

Сечение цилиндра, параллельное его оси, также является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$. Другая сторона — это хорда основания цилиндра. Обозначим длину этой хорды как $a$.

Чтобы найти длину хорды $a$, рассмотрим основание цилиндра. Это окружность радиуса $r$. По условию, расстояние от центра окружности (оси цилиндра) до хорды равно $\frac{r}{3}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведенным к одному из концов хорды (гипотенуза), половиной хорды (катет) и перпендикуляром от центра к хорде (второй катет).

По теореме Пифагора:

$r^2 = (\frac{r}{3})^2 + (\frac{a}{2})^2$

Выразим $(\frac{a}{2})^2$:

$(\frac{a}{2})^2 = r^2 - \frac{r^2}{9} = \frac{9r^2 - r^2}{9} = \frac{8r^2}{9}$

Теперь найдем половину хорды $\frac{a}{2}$:

$\frac{a}{2} = \sqrt{\frac{8r^2}{9}} = \frac{\sqrt{8} \cdot r}{3} = \frac{2\sqrt{2}r}{3}$

Тогда вся хорда $a$ равна:

$a = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}r}{3} = \frac{4\sqrt{2}r}{3}$

Площадь искомого сечения $S_{сеч}$ равна произведению его сторон $a$ и $h$:

$S_{сеч} = a \cdot h = \frac{4\sqrt{2}r}{3} \cdot h = \frac{4\sqrt{2}}{3} (r \cdot h)$

Подставим ранее найденное выражение $r \cdot h = \frac{S}{2}$:

$S_{сеч} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{S}{2} = \frac{2\sqrt{2}S}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}S}{3}$