Номер 105, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $AD = 6$ см, $\angle ABD = 60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

105. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $AD = 6$ см, $\angle ABD = 60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

Поскольку прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, его стороны равны высоте цилиндра $h$ и длине окружности основания $C$. По условию задачи, меньшая сторона прямоугольника является высотой цилиндра.

Нахождение сторон прямоугольника $ABCD$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$, в котором угол $\angle A = 90^\circ$. Из условия известны сторона $AD = 6$ см и угол $\angle ABD = 60^\circ$. Найдём сторону $AB$ через тангенс угла:

$\tan(\angle ABD) = \frac{AD}{AB}$

$\tan(60^\circ) = \frac{6}{AB}$

Зная, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} = \frac{6}{AB}$

Отсюда $AB = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Определение параметров цилиндра

Сравним длины сторон $AB$ и $AD$. Мы имеем $AD = 6$ см и $AB = 2\sqrt{3}$ см. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $AB \approx 2 \cdot 1.732 = 3.464$ см. Следовательно, $AB < AD$.

По условию, меньшая сторона прямоугольника является высотой цилиндра $h$. Значит, $h = AB = 2\sqrt{3}$ см. Большая сторона прямоугольника является длиной окружности основания цилиндра $C$. Значит, $C = AD = 6$ см.

Найдём радиус основания цилиндра $r$ из формулы длины окружности $C = 2\pi r$:

$6 = 2\pi r$

$r = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi}$ см.

Вычисление площади полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна площади её развёртки — прямоугольника $ABCD$:

$S_{бок} = AB \cdot AD = 2\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3}$ $см^2$.

Площадь одного основания $S_{осн}$ (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$:

$S_{осн} = \pi \left(\frac{3}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{9}{\pi^2} = \frac{9}{\pi}$ $см^2$.

Теперь найдём площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 12\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{9}{\pi} = 12\sqrt{3} + \frac{18}{\pi}$ $см^2$.

Ответ: $12\sqrt{3} + \frac{18}{\pi}$ $см^2$.