Страница 85 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $x - 5y + 4z - 28 = 0$ и $3x - y - 2z + 100 = 0$;

2) $x - y + 4z - 2 = 0$ и $5x + y - 2z + 13 = 0$.

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $x - 5y + 4z - 28 = 0$ и $3x - y - 2z + 100 = 0$;

2) $x - y + 4z - 2 = 0$ и $5x + y - 2z + 13 = 0$.

1)

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Уравнение плоскости в общем виде задается как $Ax + By + Cz + D = 0$, где вектор нормали к плоскости имеет координаты $\vec{n} = (A, B, C)$.

Для первой плоскости, заданной уравнением $x - 5y + 4z - 28 = 0$, вектор нормали $\vec{n_1} = (1, -5, 4)$.

Для второй плоскости, заданной уравнением $3x - y - 2z + 100 = 0$, вектор нормали $\vec{n_2} = (3, -1, -2)$.

Косинус угла $\varphi$ между плоскостями вычисляется по формуле косинуса угла между векторами:

$\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов нормалей:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1 \cdot 3) + (-5 \cdot (-1)) + (4 \cdot (-2)) = 3 + 5 - 8 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов нормалей равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, плоскости также перпендикулярны, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2)

Для первой плоскости $x - y + 4z - 2 = 0$ вектор нормали $\vec{n_1} = (1, -1, 4)$.

Для второй плоскости $5x + y - 2z + 13 = 0$ вектор нормали $\vec{n_2} = (5, 1, -2)$.

Найдем скалярное произведение векторов нормалей:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1 \cdot 5) + (-1 \cdot 1) + (4 \cdot (-2)) = 5 - 1 - 8 = -4$.

Теперь найдем длины (модули) векторов нормалей:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \varphi = \frac{|-4|}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{30}} = \frac{4}{3\sqrt{60}} = \frac{4}{3\sqrt{4 \cdot 15}} = \frac{4}{3 \cdot 2\sqrt{15}} = \frac{2}{3\sqrt{15}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:

$\cos \varphi = \frac{2\sqrt{15}}{3\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{15}}{3 \cdot 15} = \frac{2\sqrt{15}}{45}$.

Таким образом, угол $\varphi$ между плоскостями равен:

$\varphi = \arccos\left(\frac{2\sqrt{15}}{45}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2\sqrt{15}}{45}\right)$.

97. При каком значении $n$ плоскость $2x - y + 5z - 16 = 0$ будет параллельна прямой $DE$, если $D (-3; 1; -2)$, $E (1; n; -5)$?

97. При каком значении $n$ плоскость $2x - y + 5z - 16 = 0$ будет параллельна прямой $DE$, если $D (-3; 1; -2)$, $E (1; n; -5)$?

Для того чтобы плоскость была параллельна прямой, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой был перпендикулярен вектору нормали к плоскости.

Уравнение плоскости дано в виде $2x - y + 5z - 16 = 0$. Коэффициенты при $x, y, z$ являются координатами вектора нормали $\vec{N}$ к этой плоскости. Таким образом, вектор нормали:$\vec{N} = (2; -1; 5)$.

Прямая $DE$ проходит через точки $D(-3; 1; -2)$ и $E(1; n; -5)$. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{DE}$ этой прямой:$\vec{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D; z_E - z_D) = (1 - (-3); n - 1; -5 - (-2)) = (4; n - 1; -3)$.

Условие перпендикулярности векторов $\vec{N}$ и $\vec{DE}$ заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю:$\vec{N} \cdot \vec{DE} = 0$.

Вычислим скалярное произведение и решим получившееся уравнение относительно $n$:$2 \cdot 4 + (-1) \cdot (n - 1) + 5 \cdot (-3) = 0$$8 - (n - 1) - 15 = 0$$8 - n + 1 - 15 = 0$$9 - 15 - n = 0$$-6 - n = 0$$n = -6$

Таким образом, при $n = -6$ направляющий вектор прямой $DE$ будет перпендикулярен вектору нормали плоскости, что означает, что прямая $DE$ будет параллельна плоскости $2x - y + 5z - 16 = 0$.

Ответ: -6

98. При каких значениях $b$ и $c$ плоскость $12x + by + cz + 16 = 0$ будет перпендикулярна прямой $CD$, если $C (4; -5; -6)$, $D (1; 5; -4)$?

98. При каких значениях $b$ и $c$ плоскость $12x + by + cz + 16 = 0$ будет перпендикулярна прямой $CD$, если $C(4; -5; -6)$, $D(1; 5; -4)$?

Для того чтобы плоскость была перпендикулярна прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее нормальный вектор был коллинеарен (параллелен) направляющему вектору этой прямой.

1. Нахождение нормального вектора плоскости.
Уравнение плоскости задано в виде $12x + by + cz + 16 = 0$.Координаты нормального вектора $\vec{n}$ к плоскости равны коэффициентам при $x, y, z$ в ее общем уравнении.Следовательно, $\vec{n} = \{12; b; c\}$.

2. Нахождение направляющего вектора прямой.
Прямая $CD$ проходит через точки $C(4; -5; -6)$ и $D(1; 5; -4)$.Направляющий вектор прямой $\vec{CD}$ находится как разность координат конца и начала вектора:$\vec{CD} = \{x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C\}$$\vec{CD} = \{1 - 4; 5 - (-5); -4 - (-6)\}$$\vec{CD} = \{-3; 10; 2\}$.

3. Применение условия перпендикулярности плоскости и прямой.
Условие коллинеарности векторов $\vec{n}$ и $\vec{CD}$ означает, что их соответствующие координаты пропорциональны. То есть, существует такое число $k$, что $\vec{n} = k \cdot \vec{CD}$.Запишем это равенство в координатах:$\{12; b; c\} = k \cdot \{-3; 10; 2\}$Это эквивалентно системе уравнений:$\begin{cases}12 = -3k \\b = 10k \\c = 2k\end{cases}$

4. Решение системы и нахождение $b$ и $c$.
Из первого уравнения находим коэффициент пропорциональности $k$:$k = \frac{12}{-3} = -4$.

Подставляем найденное значение $k$ в остальные уравнения системы:$b = 10 \cdot (-4) = -40$$c = 2 \cdot (-4) = -8$

Ответ: $b = -40$, $c = -8$.

99. Найдите уравнение образа плоскости $x - 2y + z - 4 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (2; -4; 3);

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 3$.

99. Найдите уравнение образа плоскости $x - 2y + z - 4 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (2; -4; 3);

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 3$.

Исходное уравнение плоскости: $x - 2y + z - 4 = 0$.

Для нахождения уравнения образа плоскости при заданном преобразовании, выразим координаты $(x, y, z)$ произвольной точки исходной плоскости через координаты $(x', y', z')$ ее образа и подставим полученные выражения в уравнение плоскости.

1) при симметрии относительно начала координат

Симметрия точки $M(x, y, z)$ относительно начала координат переводит ее в точку $M'(x', y', z')$, где $x' = -x$, $y' = -y$, $z' = -z$. Отсюда выражаем исходные координаты: $x = -x'$, $y = -y'$, $z = -z'$.

Подставляем эти выражения в уравнение плоскости:

$(-x') - 2(-y') + (-z') - 4 = 0$

$-x' + 2y' - z' - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$x' - 2y' + z' + 4 = 0$

Заменив штрихованные координаты на обычные, получаем уравнение образа плоскости.

Ответ: $x - 2y + z + 4 = 0$

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (2; -4; 3)$

Параллельный перенос точки $M(x, y, z)$ на вектор $\vec{a} = (2; -4; 3)$ переводит ее в точку $M'(x', y', z')$, где $x' = x + 2$, $y' = y - 4$, $z' = z + 3$. Отсюда выражаем исходные координаты: $x = x' - 2$, $y = y' + 4$, $z = z' - 3$.

Подставляем эти выражения в уравнение плоскости:

$(x' - 2) - 2(y' + 4) + (z' - 3) - 4 = 0$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x' - 2 - 2y' - 8 + z' - 3 - 4 = 0$

$x' - 2y' + z' - 17 = 0$

Заменив штрихованные координаты на обычные, получаем уравнение образа плоскости.

Ответ: $x - 2y + z - 17 = 0$

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 3$

Гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом $k=3$ переводит точку $M(x, y, z)$ в точку $M'(x', y', z')$, где $x' = 3x$, $y' = 3y$, $z' = 3z$. Отсюда выражаем исходные координаты: $x = \frac{x'}{3}$, $y = \frac{y'}{3}$, $z = \frac{z'}{3}$.

Подставляем эти выражения в уравнение плоскости:

$\frac{x'}{3} - 2\left(\frac{y'}{3}\right) + \frac{z'}{3} - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на $3$, чтобы избавиться от знаменателей:

$x' - 2y' + z' - 12 = 0$

Заменив штрихованные координаты на обычные, получаем уравнение образа плоскости.

Ответ: $x - 2y + z - 12 = 0$

100. Площадь осевого сечения цилиндра равна $144 \text{ см}^2$, а высота цилиндра – 18 см. Найдите радиус основания цилиндра.

100. Площадь осевого сечения цилиндра равна 144 $cm^2$, а высота цилиндра — 18 см. Найдите радиус основания цилиндра.

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$.

Площадь $S$ этого прямоугольника вычисляется по формуле: $S = d \cdot h$.

Диаметр основания связан с радиусом $r$ соотношением $d = 2r$. Следовательно, формулу площади осевого сечения можно записать как: $S = 2r \cdot h$.

По условию задачи нам даны площадь осевого сечения $S = 144$ см² и высота цилиндра $h = 18$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти радиус $r$.

$144 = 2 \cdot r \cdot 18$

$144 = 36r$

Чтобы найти $r$, разделим обе части уравнения на 36:

$r = \frac{144}{36}$

$r = 4$ см

Ответ: 4 см.

101. Высота цилиндра равна $4\sqrt{2}$ см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра и площадь его основания.

101. Высота цилиндра равна $4\sqrt{2}$ см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра и площадь его основания.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D$. Диагональ этого сечения $d$, высота $h$ и диаметр $D$ образуют прямоугольный треугольник, где $d$ является гипотенузой. Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $d$ и катетом $D$.

Диагональ осевого сечения цилиндра

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h = 4\sqrt{2}$ см, диаметром основания $D$ и диагональю осевого сечения $d$. Угол между диагональю $d$ и диаметром $D$ по условию равен $45^\circ$.

В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу в $45^\circ$. Связь между гипотенузой, катетом и противолежащим углом выражается через синус:

$\sin(45^\circ) = \frac{h}{d}$

Отсюда можем найти диагональ $d$:

$d = \frac{h}{\sin(45^\circ)}$

Подставим известные значения, учитывая, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$d = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

Площадь его основания

Для нахождения площади основания необходимо найти его радиус $R$. Сначала найдем диаметр $D$.

Так как в рассматриваемом прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это значит, что треугольник является равнобедренным, и его катеты равны:

$D = h = 4\sqrt{2}$ см.

Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь основания цилиндра (которое является кругом) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$

Подставим значение радиуса:

$S_{осн} = \pi (2\sqrt{2})^2 = \pi (2^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = \pi (4 \cdot 2) = 8\pi$ см².

Ответ: $8\pi$ см².

102. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а его высота — 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

102. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а его высота – 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi r h$, где $r$ – это радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота.

В условии задачи даны следующие значения:

• Радиус основания $r = 6$ см
• Высота $h = 4$ см

Подставим эти значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см}$

Выполним вычисления:

$S_{бок} = 48\pi$ см²

Ответ: $48\pi$ см².

103. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см, а угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

103. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см, а угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Пусть его стороны — это высота цилиндра $h$ (равная образующей) и диаметр основания $D$. Диагональ этого прямоугольника $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота $h$ и диаметр $D$.

Согласно условию задачи, диагональ осевого сечения $d = 12$ см, а угол $\alpha$ между этой диагональю и образующей (то есть высотой $h$) равен $45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой и диаметром. В этом треугольнике $d$ — гипотенуза, $h$ — катет, прилежащий к углу $\alpha$, а $D$ — катет, противолежащий углу $\alpha$. Используя тригонометрические соотношения, найдем высоту и диаметр цилиндра:

Высота $h$ равна:
$h = d \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Диаметр $D$ равен:
$D = d \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Поскольку угол равен $45^\circ$, данный прямоугольный треугольник является равнобедренным, что означает, что его катеты равны: $h = D = 6\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота. Учитывая, что диаметр $D = 2R$, формулу можно представить в виде $S_{бок} = \pi D h$.

Подставим найденные значения $h$ и $D$ в формулу:

$S_{бок} = \pi \cdot (6\sqrt{2}) \cdot (6\sqrt{2}) = \pi \cdot 36 \cdot (\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 36 \cdot 2 = 72\pi$ см$^2$.

Ответ: $72\pi$ см$^2$.

104. Прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь полной поверхности полученного тела вращения.

104. Прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь полной поверхности полученного тела вращения.

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется тело вращения, которое является цилиндром. По условию задачи, прямоугольник имеет стороны 4 см и 6 см, а вращение происходит вокруг меньшей стороны.

Следовательно, меньшая сторона прямоугольника будет являться высотой цилиндра ($h$), а большая сторона — радиусом его основания ($r$).

Высота цилиндра: $h = 4$ см.

Радиус основания цилиндра: $r = 6$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площади двух оснований ($2S_{осн}$).

Формула площади полной поверхности цилиндра:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2\pi r h$

Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

Объединив формулы, получаем:

$S_{полн} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$

Подставим наши значения $h=4$ см и $r=6$ см в формулу:

$S_{полн} = 2\pi \cdot 6 \cdot (4 + 6) = 12\pi \cdot 10 = 120\pi$ (см²).

Ответ: $120\pi$ см².

105. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $AD = 6$ см, $\angle ABD = 60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

105. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $AD = 6$ см, $\angle ABD = 60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

Поскольку прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, его стороны равны высоте цилиндра $h$ и длине окружности основания $C$. По условию задачи, меньшая сторона прямоугольника является высотой цилиндра.

Нахождение сторон прямоугольника $ABCD$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$, в котором угол $\angle A = 90^\circ$. Из условия известны сторона $AD = 6$ см и угол $\angle ABD = 60^\circ$. Найдём сторону $AB$ через тангенс угла:

$\tan(\angle ABD) = \frac{AD}{AB}$

$\tan(60^\circ) = \frac{6}{AB}$

Зная, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} = \frac{6}{AB}$

Отсюда $AB = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Определение параметров цилиндра

Сравним длины сторон $AB$ и $AD$. Мы имеем $AD = 6$ см и $AB = 2\sqrt{3}$ см. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $AB \approx 2 \cdot 1.732 = 3.464$ см. Следовательно, $AB < AD$.

По условию, меньшая сторона прямоугольника является высотой цилиндра $h$. Значит, $h = AB = 2\sqrt{3}$ см. Большая сторона прямоугольника является длиной окружности основания цилиндра $C$. Значит, $C = AD = 6$ см.

Найдём радиус основания цилиндра $r$ из формулы длины окружности $C = 2\pi r$:

$6 = 2\pi r$

$r = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi}$ см.

Вычисление площади полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна площади её развёртки — прямоугольника $ABCD$:

$S_{бок} = AB \cdot AD = 2\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3}$ $см^2$.

Площадь одного основания $S_{осн}$ (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$:

$S_{осн} = \pi \left(\frac{3}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{9}{\pi^2} = \frac{9}{\pi}$ $см^2$.

Теперь найдём площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 12\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{9}{\pi} = 12\sqrt{3} + \frac{18}{\pi}$ $см^2$.

Ответ: $12\sqrt{3} + \frac{18}{\pi}$ $см^2$.