Номер 101, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Высота цилиндра равна $4\sqrt{2}$ см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра и площадь его основания.

101. Высота цилиндра равна $4\sqrt{2}$ см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра и площадь его основания.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D$. Диагональ этого сечения $d$, высота $h$ и диаметр $D$ образуют прямоугольный треугольник, где $d$ является гипотенузой. Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $d$ и катетом $D$.

Диагональ осевого сечения цилиндра

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h = 4\sqrt{2}$ см, диаметром основания $D$ и диагональю осевого сечения $d$. Угол между диагональю $d$ и диаметром $D$ по условию равен $45^\circ$.

В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу в $45^\circ$. Связь между гипотенузой, катетом и противолежащим углом выражается через синус:

$\sin(45^\circ) = \frac{h}{d}$

Отсюда можем найти диагональ $d$:

$d = \frac{h}{\sin(45^\circ)}$

Подставим известные значения, учитывая, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$d = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

Площадь его основания

Для нахождения площади основания необходимо найти его радиус $R$. Сначала найдем диаметр $D$.

Так как в рассматриваемом прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это значит, что треугольник является равнобедренным, и его катеты равны:

$D = h = 4\sqrt{2}$ см.

Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь основания цилиндра (которое является кругом) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$

Подставим значение радиуса:

$S_{осн} = \pi (2\sqrt{2})^2 = \pi (2^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = \pi (4 \cdot 2) = 8\pi$ см².

Ответ: $8\pi$ см².