Номер 103, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см, а угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

103. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см, а угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Пусть его стороны — это высота цилиндра $h$ (равная образующей) и диаметр основания $D$. Диагональ этого прямоугольника $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота $h$ и диаметр $D$.

Согласно условию задачи, диагональ осевого сечения $d = 12$ см, а угол $\alpha$ между этой диагональю и образующей (то есть высотой $h$) равен $45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой и диаметром. В этом треугольнике $d$ — гипотенуза, $h$ — катет, прилежащий к углу $\alpha$, а $D$ — катет, противолежащий углу $\alpha$. Используя тригонометрические соотношения, найдем высоту и диаметр цилиндра:

Высота $h$ равна:
$h = d \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Диаметр $D$ равен:
$D = d \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Поскольку угол равен $45^\circ$, данный прямоугольный треугольник является равнобедренным, что означает, что его катеты равны: $h = D = 6\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота. Учитывая, что диаметр $D = 2R$, формулу можно представить в виде $S_{бок} = \pi D h$.

Подставим найденные значения $h$ и $D$ в формулу:

$S_{бок} = \pi \cdot (6\sqrt{2}) \cdot (6\sqrt{2}) = \pi \cdot 36 \cdot (\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 36 \cdot 2 = 72\pi$ см$^2$.

Ответ: $72\pi$ см$^2$.