Номер 96, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $x - 5y + 4z - 28 = 0$ и $3x - y - 2z + 100 = 0$;

2) $x - y + 4z - 2 = 0$ и $5x + y - 2z + 13 = 0$.

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $x - 5y + 4z - 28 = 0$ и $3x - y - 2z + 100 = 0$;

2) $x - y + 4z - 2 = 0$ и $5x + y - 2z + 13 = 0$.

1)

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Уравнение плоскости в общем виде задается как $Ax + By + Cz + D = 0$, где вектор нормали к плоскости имеет координаты $\vec{n} = (A, B, C)$.

Для первой плоскости, заданной уравнением $x - 5y + 4z - 28 = 0$, вектор нормали $\vec{n_1} = (1, -5, 4)$.

Для второй плоскости, заданной уравнением $3x - y - 2z + 100 = 0$, вектор нормали $\vec{n_2} = (3, -1, -2)$.

Косинус угла $\varphi$ между плоскостями вычисляется по формуле косинуса угла между векторами:

$\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов нормалей:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1 \cdot 3) + (-5 \cdot (-1)) + (4 \cdot (-2)) = 3 + 5 - 8 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов нормалей равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, плоскости также перпендикулярны, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2)

Для первой плоскости $x - y + 4z - 2 = 0$ вектор нормали $\vec{n_1} = (1, -1, 4)$.

Для второй плоскости $5x + y - 2z + 13 = 0$ вектор нормали $\vec{n_2} = (5, 1, -2)$.

Найдем скалярное произведение векторов нормалей:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1 \cdot 5) + (-1 \cdot 1) + (4 \cdot (-2)) = 5 - 1 - 8 = -4$.

Теперь найдем длины (модули) векторов нормалей:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \varphi = \frac{|-4|}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{30}} = \frac{4}{3\sqrt{60}} = \frac{4}{3\sqrt{4 \cdot 15}} = \frac{4}{3 \cdot 2\sqrt{15}} = \frac{2}{3\sqrt{15}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:

$\cos \varphi = \frac{2\sqrt{15}}{3\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{15}}{3 \cdot 15} = \frac{2\sqrt{15}}{45}$.

Таким образом, угол $\varphi$ между плоскостями равен:

$\varphi = \arccos\left(\frac{2\sqrt{15}}{45}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2\sqrt{15}}{45}\right)$.