Номер 94, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Точки $C(7; 9; -6)$ и $C_1(-3; -7; 2)$ симметричны относительно плоскости $\gamma$. Составьте уравнение этой плоскости.

94. Точки $C(7; 9; -6)$ и $C_1(-3; -7; 2)$ симметричны относительно плоскости $\gamma$. Составьте уравнение этой плоскости.

Плоскость $\gamma$, относительно которой симметричны точки C и C₁, является плоскостью, перпендикулярной отрезку $CC_1$ и проходящей через его середину.

1. Нахождение точки, принадлежащей плоскости

Эта точка является серединой M отрезка, соединяющего точки $C(7; 9; -6)$ и $C_1(-3; -7; 2)$. Найдем ее координаты по формуле середины отрезка:

$x_M = \frac{x_C + x_{C_1}}{2} = \frac{7 + (-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_M = \frac{y_C + y_{C_1}}{2} = \frac{9 + (-7)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_M = \frac{z_C + z_{C_1}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, точка $M(2; 1; -2)$ лежит на искомой плоскости $\gamma$.

2. Нахождение вектора нормали к плоскости

Поскольку плоскость $\gamma$ перпендикулярна отрезку $CC_1$, то вектор $\vec{CC_1}$ является вектором нормали $\vec{n}$ к этой плоскости. Найдем его координаты:

$\vec{n} = \vec{CC_1} = (x_{C_1} - x_C; y_{C_1} - y_C; z_{C_1} - z_C) = (-3 - 7; -7 - 9; 2 - (-6)) = (-10; -16; 8)$.

Для упрощения уравнения можно использовать любой коллинеарный вектор. Разделим координаты вектора $\vec{n}$ на -2:

$\vec{n'} = (\frac{-10}{-2}; \frac{-16}{-2}; \frac{8}{-2}) = (5; 8; -4)$.

3. Составление уравнения плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим координаты точки $M(2; 1; -2)$ и вектора нормали $\vec{n'} = (5; 8; -4)$:

$5(x - 2) + 8(y - 1) - 4(z - (-2)) = 0$

$5(x - 2) + 8(y - 1) - 4(z + 2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые для получения общего уравнения плоскости:

$5x - 10 + 8y - 8 - 4z - 8 = 0$

$5x + 8y - 4z - 26 = 0$

Ответ: $5x + 8y - 4z - 26 = 0$.