Номер 87, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Даны точки $A (3; 4; -7)$, $B (0; -2; -5)$, $C (5; 1; -6)$ и $D (-4; -8; -15)$. Докажите, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

87. Даны точки $A (3; 4; -7)$, $B (0; -2; -5)$, $C (5; 1; -6)$ и $D (-4; -8; -15)$. Докажите, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

Для того чтобы доказать, что прямая AC перпендикулярна плоскости BCD, необходимо доказать, что прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости BCD. В качестве таких прямых можно взять BC и BD.

Перпендикулярность прямых можно доказать, показав, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю.

1. Найдем координаты направляющих векторов $\vec{AC}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$.

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{AC}$ с началом в точке A(3; 4; –7) и концом в точке C(5; 1; –6):
$\vec{AC} = (5-3; 1-4; -6 - (-7)) = (2; -3; 1)$

Для вектора $\vec{BC}$ с началом в точке B(0; –2; –5) и концом в точке C(5; 1; –6):
$\vec{BC} = (5-0; 1 - (-2); -6 - (-5)) = (5; 3; -1)$

Для вектора $\vec{BD}$ с началом в точке B(0; –2; –5) и концом в точке D(–4; –8; –15):
$\vec{BD} = (-4-0; -8 - (-2); -15 - (-5)) = (-4; -6; -10)$

2. Проверим, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны.

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим это для $\vec{BC}=(5; 3; -1)$ и $\vec{BD}=(-4; -6; -10)$:

$\frac{5}{-4} \neq \frac{3}{-6} \neq \frac{-1}{-10}$

Поскольку равенство не выполняется, векторы не коллинеарны, а значит прямые BC и BD пересекаются и задают плоскость BCD.

3. Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{AC}$ с векторами $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}=(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Найдем скалярное произведение $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = 10 - 9 - 1 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AC} \perp \vec{BC}$, а значит прямая $AC \perp BC$.

Найдем скалярное произведение $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 2 \cdot (-4) + (-3) \cdot (-6) + 1 \cdot (-10) = -8 + 18 - 10 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{AC} \perp \vec{BD}$, а значит прямая $AC \perp BD$.

Поскольку прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым (BC и BD), лежащим в плоскости BCD, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AC перпендикулярна плоскости BCD.

Ответ: Утверждение доказано.