Номер 86, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Даны векторы $\vec{c}$ (4; -2; -4) и $\vec{d}$ (6; -3; 2). Найдите значение $p$, при котором векторы $p\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ будут перпендикулярны.

86. Даны векторы $ \vec{c} (4; -2; -4) $ и $ \vec{d} (6; -3; 2) $. Найдите значение $ p $, при котором векторы $ p\vec{c}+\vec{d} $ и $ \vec{c} $ будут перпендикулярны.

По условию, векторы $p\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ должны быть перпендикулярны. Два ненулевых вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы с координатами $\vec{c}(4; -2; -4)$ и $\vec{d}(6; -3; 2)$.

1. Найдём координаты вектора $p\vec{c} + \vec{d}$

Сначала найдём координаты вектора $p\vec{c}$, умножив каждую координату вектора $\vec{c}$ на число $p$:
$p\vec{c} = (p \cdot 4; p \cdot (-2); p \cdot (-4)) = (4p; -2p; -4p)$.

Теперь найдём координаты вектора $p\vec{c} + \vec{d}$ путем сложения соответствующих координат векторов $p\vec{c}$ и $\vec{d}$:
$p\vec{c} + \vec{d} = (4p + 6; -2p + (-3); -4p + 2) = (4p + 6; -2p - 3; -4p + 2)$.

2. Составим и решим уравнение, используя условие перпендикулярности векторов

Скалярное произведение векторов $(p\vec{c} + \vec{d})$ и $\vec{c}$ должно быть равно нулю:

$(p\vec{c} + \vec{d}) \cdot \vec{c} = 0$.

Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. Подставим координаты наших векторов:

$(4p + 6) \cdot 4 + (-2p - 3) \cdot (-2) + (-4p + 2) \cdot (-4) = 0$.

Раскроем скобки:

$16p + 24 + 4p + 6 + 16p - 8 = 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(16p + 4p + 16p) + (24 + 6 - 8) = 0$
$36p + 22 = 0$.

Решим уравнение относительно $p$:

$36p = -22$
$p = -\frac{22}{36}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$p = -\frac{11}{18}$.

Ответ: $p = -\frac{11}{18}$.