Номер 81, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Найдите угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$, если A $(4; -2; -1)$, B $(7; 3; -1)$, C $(6; 4; -1)$.

81. Найдите угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$, если $A(4; -2; -1)$, $B(7; 3; -1)$, $C(6; 4; -1)$.

Для нахождения угла $\alpha$ между векторами используется формула косинуса угла через скалярное произведение:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

В нашем случае, нам нужно найти угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$.

1. Найдём координаты векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$

Координаты вектора находятся путем вычитания координат его начальной точки из координат конечной точки.

Имеем точки: $A(4; -2; -1)$, $B(7; 3; -1)$, $C(6; 4; -1)$.

Координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (6 - 7; 4 - 3; -1 - (-1)) = (-1; 1; 0)$

Координаты вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (6 - 4; 4 - (-2); -1 - (-1)) = (2; 6; 0)$

2. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 6 + 0 \cdot 0 = -2 + 6 + 0 = 4$

3. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$

Длина вектора $\vec{a}(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Длина вектора $\vec{BC}$:

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$

Длина вектора $\vec{AC}$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 36 + 0} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$

4. Найдём косинус угла между векторами

Подставим полученные значения в формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{AC}}{|\vec{BC}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{4}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{4}{2\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Следовательно, угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения.

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$

Можно также избавиться от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Тогда $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$. Оба варианта записи ответа верны.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$