Номер 82, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Даны векторы $\vec{a}$ (3; -6; -1) и $\vec{b}$ (5; 1; z). При каких значениях z угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

82. Даны векторы $\vec{a} (3; -6; -1)$ и $\vec{b} (5; 1; z)$. При каких значениях $z$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Тип угла между двумя ненулевыми векторами определяется знаком их скалярного произведения. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ связан со скалярным произведением формулой: $\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Поскольку длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда положительны, знак $\cos(\theta)$ совпадает со знаком скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- Если угол острый ($0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$), то $\cos(\theta) > 0$, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
- Если угол прямой ($\theta = 90^{\circ}$), то $\cos(\theta) = 0$, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
- Если угол тупой ($90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$), то $\cos(\theta) < 0$, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Найдем скалярное произведение данных векторов $\vec{a}(3; -6; -1)$ и $\vec{b}(5; 1; z)$, используя формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 5 + (-6) \cdot 1 + (-1) \cdot z = 15 - 6 - z = 9 - z$.

Теперь, используя полученное выражение $9-z$, найдем значения $z$ для каждого случая.

1) острый;

Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно:
$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$
$9 - z > 0$
$9 > z$, или $z < 9$.
Ответ: угол острый при $z < 9$.

2) прямой;

Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю (в этом случае векторы ортогональны):
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$9 - z = 0$
$z = 9$.
Ответ: угол прямой при $z = 9$.

3) тупой?

Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно:
$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$
$9 - z < 0$
$9 < z$, или $z > 9$.
Ответ: угол тупой при $z > 9$.