Страница 83 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^{\circ}$.

Найдите $|\vec{a} - 4\vec{b}|$.

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=6$, $|\vec{b}|=\sqrt{3}$, $\angle(\vec{a},\vec{b})=30^\circ$.

Найдите $|\vec{a}-4\vec{b}|$.

Для нахождения модуля вектора $|\vec{a} - 4\vec{b}|$ воспользуемся свойством, что квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату. То есть, $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

Возведем искомый модуль в квадрат:$|\vec{a} - 4\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 4\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 4\vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:$(\vec{a} - 4\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 4\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot (4\vec{b}) - (4\vec{b}) \cdot \vec{a} + (4\vec{b}) \cdot (4\vec{b})$

Упростим выражение, учитывая, что $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$:$|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по формуле:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим известные значения: $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ и $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$

Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

Теперь подставим все значения в выражение для квадрата модуля:$|\vec{a} - 4\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2 = 6^2 - 8 \cdot 9 + 16 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 - 72 + 16 \cdot 3 = 36 - 72 + 48 = 12$

Мы получили, что $|\vec{a} - 4\vec{b}|^2 = 12$. Чтобы найти модуль, извлечем квадратный корень:$|\vec{a} - 4\vec{b}| = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

73. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{m} - \vec{n}$ и $\vec{b} = \vec{m} - 2\vec{n}$, где $\left|\vec{m}\right| = \left|\vec{n}\right| = 1$, $\vec{m} \perp \vec{n}$.

73. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} = 3\vec{m} - \vec{n} $ и $ \vec{b} = \vec{m} - 2\vec{n} $, где $ |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 $, $ \vec{m} \perp \vec{n} $.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Даны векторы $\vec{a} = 3\vec{m} - \vec{n}$ и $\vec{b} = \vec{m} - 2\vec{n}$. Также даны условия: $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

Из условия, что векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ перпендикулярны ($\vec{m} \perp \vec{n}$), следует, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{m} - \vec{n}) \cdot (\vec{m} - 2\vec{n}) = 3\vec{m} \cdot \vec{m} - 3\vec{m} \cdot 2\vec{n} - \vec{n} \cdot \vec{m} + \vec{n} \cdot 2\vec{n}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{m}|^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - (\vec{n} \cdot \vec{m}) + 2|\vec{n}|^2$

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}$), получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{m}|^2 - 7(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 2|\vec{n}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{m}|=1$, $|\vec{n}|=1$ и $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(1)^2 - 7(0) + 2(1)^2 = 3 - 0 + 2 = 5$

2. Найдем модули (длины) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Модуль вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (3\vec{m} - \vec{n}) \cdot (3\vec{m} - \vec{n}) = 9|\vec{m}|^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2$

Подставим известные значения:

$|\vec{a}|^2 = 9(1)^2 - 6(0) + (1)^2 = 9 - 0 + 1 = 10$

Следовательно, $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

Модуль вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{m} - 2\vec{n}) \cdot (\vec{m} - 2\vec{n}) = |\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 4|\vec{n}|^2$

Подставим известные значения:

$|\vec{b}|^2 = (1)^2 - 4(0) + 4(1)^2 = 1 - 0 + 4 = 5$

Следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

3. Теперь найдем косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{DD_1}$;

3) $\vec{CB}$ и $\vec{D_1B_1}$.

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{DD_1}$;

3) $\vec{CB}$ и $\vec{D_1B_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AB$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$. Так как ребро куба равно $a$, координаты вершин будут следующими:

$A(0, 0, 0)$, $B(0, a, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(a, 0, 0)$
$A_1(0, 0, a)$, $B_1(0, a, a)$, $C_1(a, a, a)$, $D_1(a, 0, a)$

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2, z_2)$ находится по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

1) $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$

Найдем координаты векторов. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{BA_1}$ имеем начало в точке $B(0, a, 0)$ и конец в точке $A_1(0, 0, a)$. Его координаты:

$\vec{BA_1} = (0-0, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$.

Для вектора $\vec{CD_1}$ имеем начало в точке $C(a, a, 0)$ и конец в точке $D_1(a, 0, a)$. Его координаты:

$\vec{CD_1} = (a-a, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$.

Векторы $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$ равны, так как они являются диагоналями параллельных граней $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ и сонаправлены.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{CD_1} = 0 \cdot 0 + (-a) \cdot (-a) + a \cdot a = 0 + a^2 + a^2 = 2a^2$.

Ответ: $2a^2$

2) $\vec{AB}$ и $\vec{DD_1}$

Найдем координаты векторов.

Координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в $A(0, 0, 0)$ и концом в $B(0, a, 0)$:

$\vec{AB} = (0-0, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$.

Координаты вектора $\vec{DD_1}$ с началом в $D(a, 0, 0)$ и концом в $D_1(a, 0, a)$:

$\vec{DD_1} = (a-a, 0-0, a-0) = (0, 0, a)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{DD_1} = 0 \cdot 0 + a \cdot 0 + 0 \cdot a = 0$.

Скалярное произведение равно нулю, так как векторы перпендикулярны. Вектор $\vec{AB}$ параллелен оси $Oy$, а вектор $\vec{DD_1}$ параллелен оси $Oz$. Оси $Oy$ и $Oz$ перпендикулярны.

Ответ: $0$

3) $\vec{CB}$ и $\vec{D_1B_1}$

Найдем координаты векторов.

Координаты вектора $\vec{CB}$ с началом в $C(a, a, 0)$ и концом в $B(0, a, 0)$:

$\vec{CB} = (0-a, a-a, 0-0) = (-a, 0, 0)$.

Координаты вектора $\vec{D_1B_1}$ с началом в $D_1(a, 0, a)$ и концом в $B_1(0, a, a)$:

$\vec{D_1B_1} = (0-a, a-0, a-a) = (-a, a, 0)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{CB} \cdot \vec{D_1B_1} = (-a) \cdot (-a) + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2$.

Альтернативный способ: заменим вектор $\vec{CB}$ равным ему вектором $\vec{D_1A_1}$ (они оба равны вектору $\vec{DA}$). Тогда нужно найти скалярное произведение $\vec{D_1A_1} \cdot \vec{D_1B_1}$.

По определению, $\vec{D_1A_1} \cdot \vec{D_1B_1} = |\vec{D_1A_1}| \cdot |\vec{D_1B_1}| \cdot \cos(\angle A_1D_1B_1)$.

Длина ребра $|\vec{D_1A_1}| = a$. Длина диагонали грани $|\vec{D_1B_1}| = a\sqrt{2}$. Угол между стороной и диагональю квадрата $\angle A_1D_1B_1 = 45^\circ$.

$\vec{D_1A_1} \cdot \vec{D_1B_1} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = a^2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2$.

Ответ: $a^2$

75. Ребро правильного тетраэдра DABC равно $a$, точка $M$ — середина ребра $AD$ (рис. 26). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{BM}$ и $\vec{AB}$;

2) $\vec{BM}$ и $\vec{DC}$.

Рис. 26

75. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точка $M$ — середина ребра $AD$ (рис. 26). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{AB}$;

2) $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{DC}$.

Рис. 26

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $DABC$ — правильный тетраэдр, ребро которого равно $a$. Точка $M$ — середина ребра $AD$.

Введем базисные векторы с общим началом в вершине $A$: $\vec{AB} = \mathbf{b}$, $\vec{AC} = \mathbf{c}$ и $\vec{AD} = \mathbf{d}$.

Так как тетраэдр правильный, все его грани являются равносторонними треугольниками со стороной $a$. Это означает, что длины базисных векторов равны $a$, а угол между любыми двумя из них составляет $60^\circ$.

Длины векторов: $|\mathbf{b}| = |\mathbf{c}| = |\mathbf{d}| = a$.

Скалярные произведения базисных векторов:

• $\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$
• $\mathbf{b} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{b}| |\mathbf{d}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$
• $\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{c}| |\mathbf{d}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

Также нам понадобятся скалярные квадраты векторов:

• $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2 = a^2$
• $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{d}|^2 = a^2$

По условию, точка $M$ является серединой ребра $AD$, следовательно, вектор $\vec{AM}$ можно выразить как половину вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\mathbf{d}$.

1) $\vec{BM}$ и $\vec{AB}$;

Для нахождения скалярного произведения выразим вектор $\vec{BM}$ через базисные векторы. Используя правило треугольника для векторов, получаем:

$\vec{BM} = \vec{AM} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{b}$.

Вектор $\vec{AB}$ совпадает с базисным вектором $\mathbf{b}$.

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{BM} \cdot \vec{AB}$:

$\vec{BM} \cdot \vec{AB} = (\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{b}) \cdot \mathbf{b}$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$\vec{BM} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}(\mathbf{d} \cdot \mathbf{b}) - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{b})$

Подставим ранее найденные значения скалярных произведений:

$\vec{BM} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} - a^2 = \frac{a^2}{4} - a^2 = \frac{a^2 - 4a^2}{4} = -\frac{3a^2}{4}$.

Ответ: $-\frac{3a^2}{4}$.

2) $\vec{BM}$ и $\vec{DC}$.

Вектор $\vec{BM}$ мы уже выразили: $\vec{BM} = \frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{b}$.

Теперь выразим вектор $\vec{DC}$ через базисные векторы с началом в точке $A$:

$\vec{DC} = \vec{AC} - \vec{AD} = \mathbf{c} - \mathbf{d}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{BM} \cdot \vec{DC}$:

$\vec{BM} \cdot \vec{DC} = (\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} - \mathbf{d})$

Раскроем скобки:

$\vec{BM} \cdot \vec{DC} = \frac{1}{2}(\mathbf{d} \cdot \mathbf{c}) - \frac{1}{2}(\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) + (\mathbf{b} \cdot \mathbf{d})$

Подставим известные значения скалярных произведений:

$\vec{BM} \cdot \vec{DC} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{2} \right) - \frac{1}{2} (a^2) - \left( \frac{a^2}{2} \right) + \left( \frac{a^2}{2} \right)$

$\vec{BM} \cdot \vec{DC} = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2 - 2a^2}{4} = -\frac{a^2}{4}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{4}$.

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На ребре $DD_1$ отметили точку $K$ так, что $DK : KD_1 = 2 : 5$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{DD_1}$.

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$.

На ребре $DD_1$ отметили точку K так, что $DK : KD_1 = 2 : 5$.

Найдите скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{DD_1}$.

Для решения задачи воспользуемся методом разложения вектора. Разложим вектор $ \vec{BK} $ по правилу треугольника на сумму двух векторов:

$ \vec{BK} = \vec{BD} + \vec{DK} $

Теперь найдем скалярное произведение $ \vec{BK} \cdot \vec{DD_1} $, подставив полученное разложение:

$ \vec{BK} \cdot \vec{DD_1} = (\vec{BD} + \vec{DK}) \cdot \vec{DD_1} $

Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, получаем:

$ \vec{BK} \cdot \vec{DD_1} = \vec{BD} \cdot \vec{DD_1} + \vec{DK} \cdot \vec{DD_1} $

Рассмотрим каждое из двух получившихся скалярных произведений отдельно.

1. Произведение $ \vec{BD} \cdot \vec{DD_1} $.
Вектор $ \vec{BD} $ лежит в плоскости основания куба ABCD. Ребро DD₁ перпендикулярно плоскости основания, следовательно, вектор $ \vec{DD_1} $ перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, в том числе и вектору $ \vec{BD} $. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Таким образом, $ \vec{BD} \cdot \vec{DD_1} = 0 $.

2. Произведение $ \vec{DK} \cdot \vec{DD_1} $.
По условию, точка K лежит на ребре DD₁. Это значит, что векторы $ \vec{DK} $ и $ \vec{DD_1} $ коллинеарны и сонаправлены (имеют одинаковое направление). Скалярное произведение сонаправленных векторов равно произведению их длин:

$ \vec{DK} \cdot \vec{DD_1} = |\vec{DK}| \cdot |\vec{DD_1}| $

Длина ребра куба равна $a$, значит, $ |\vec{DD_1}| = a $. Из условия $ DK : KD_1 = 2 : 5 $ следует, что отрезок DD₁ разделен на $ 2+5=7 $ частей, и на отрезок DK приходится 2 части. Следовательно, длина отрезка DK равна:

$ |\vec{DK}| = \frac{2}{7} |\vec{DD_1}| = \frac{2}{7}a $

Тогда скалярное произведение равно:

$ \vec{DK} \cdot \vec{DD_1} = \frac{2}{7}a \cdot a = \frac{2a^2}{7} $

Теперь сложим полученные результаты, чтобы найти искомое скалярное произведение:

$ \vec{BK} \cdot \vec{DD_1} = 0 + \frac{2a^2}{7} = \frac{2a^2}{7} $

Ответ: $ \frac{2a^2}{7} $

77. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ \vec{a} (-4; 5; 3), \vec{b} (-6; 1; -7); $

2) $ \vec{a} (-1; 8; 2), \vec{b} (-3; -4; 10). $

77. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ \vec{a} $ (-4; 5; 3), $ \vec{b} $ (-6; 1; -7);

2) $ \vec{a} $ (-1; 8; 2), $ \vec{b} $ (-3; -4; 10).

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$, вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

1)

Для векторов $\vec{a}(-4; 5; 3)$ и $\vec{b}(-6; 1; -7)$ найдем их скалярное произведение, подставив их координаты в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-4) \cdot (-6) + 5 \cdot 1 + 3 \cdot (-7) = 24 + 5 - 21 = 8$.

Ответ: 8

2)

Аналогично, для векторов $\vec{a}(-1; 8; 2)$ и $\vec{b}(-3; -4; 10)$ найдем их скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot (-3) + 8 \cdot (-4) + 2 \cdot 10 = 3 - 32 + 20 = -9$.

Ответ: -9

78. Даны векторы $\vec{a} (n; -1; 4)$ и $\vec{b} (3; n; -1)$. При каком значении $n$ выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$?

78. Даны векторы $\vec{a} (n; -1; 4)$ и $\vec{b} (3; n; -1)$. При каком значении $n$ выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$?

Чтобы найти значение $n$, при котором скалярное произведение векторов $\vec{a}(n; -1; 4)$ и $\vec{b}(3; n; -1)$ равно -6, воспользуемся формулой скалярного произведения векторов в координатах.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Подставим координаты данных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в эту формулу: $x_1 = n, y_1 = -1, z_1 = 4$ $x_2 = 3, y_2 = n, z_2 = -1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (n \cdot 3) + (-1 \cdot n) + (4 \cdot (-1))$

Упростим полученное выражение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3n - n - 4$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2n - 4$

Согласно условию задачи, скалярное произведение должно быть равно -6: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$

Составим и решим уравнение: $2n - 4 = -6$

Прибавим 4 к обеим частям уравнения: $2n = -6 + 4$ $2n = -2$

Разделим обе части уравнения на 2: $n = \frac{-2}{2}$ $n = -1$

Ответ: -1

79. Даны векторы $\vec{a} (5; y; 2)$ и $\vec{b} (-4; 3; -2)$. При каком значении $y$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны?

79. Даны векторы $\vec{a} (5; y; 2)$ и $\vec{b} (-4; 3; -2)$. При каком значении $y$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны?

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы с координатами $\vec{a} = (5; y; 2)$ и $\vec{b} = (-4; 3; -2)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

Чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Подставим координаты данных векторов в это уравнение:
$5 \cdot (-4) + y \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $y$:
$-20 + 3y - 4 = 0$
$3y - 24 = 0$
$3y = 24$
$y = \frac{24}{3}$
$y = 8$

Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны при $y = 8$.

Ответ: 8

80. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} (-1; 1; -1)$ и $\vec{b} (-4; 4; 2)$.

80. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ $(-1; 1; -1)$ и $\vec{b}$ $(-4; 4; 2)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — это скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это их длины (модули).

Для векторов с координатами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ формула выглядит так:

$\cos(\theta) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

В нашем случае даны векторы $\vec{a}(-1; 1; -1)$ и $\vec{b}(-4; 4; 2)$.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot (-4) + 1 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 4 + 4 - 2 = 6$

2. Вычислим длину (модуль) вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

3. Вычислим длину (модуль) вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$

4. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\theta) = \frac{6}{\sqrt{3} \cdot 6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\theta) = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

81. Найдите угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$, если A $(4; -2; -1)$, B $(7; 3; -1)$, C $(6; 4; -1)$.

81. Найдите угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$, если $A(4; -2; -1)$, $B(7; 3; -1)$, $C(6; 4; -1)$.

Для нахождения угла $\alpha$ между векторами используется формула косинуса угла через скалярное произведение:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

В нашем случае, нам нужно найти угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$.

1. Найдём координаты векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$

Координаты вектора находятся путем вычитания координат его начальной точки из координат конечной точки.

Имеем точки: $A(4; -2; -1)$, $B(7; 3; -1)$, $C(6; 4; -1)$.

Координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (6 - 7; 4 - 3; -1 - (-1)) = (-1; 1; 0)$

Координаты вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (6 - 4; 4 - (-2); -1 - (-1)) = (2; 6; 0)$

2. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 6 + 0 \cdot 0 = -2 + 6 + 0 = 4$

3. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$

Длина вектора $\vec{a}(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Длина вектора $\vec{BC}$:

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$

Длина вектора $\vec{AC}$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 36 + 0} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$

4. Найдём косинус угла между векторами

Подставим полученные значения в формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{AC}}{|\vec{BC}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{4}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{4}{2\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Следовательно, угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения.

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$

Можно также избавиться от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Тогда $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$. Оба варианта записи ответа верны.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$

82. Даны векторы $\vec{a}$ (3; -6; -1) и $\vec{b}$ (5; 1; z). При каких значениях z угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

82. Даны векторы $\vec{a} (3; -6; -1)$ и $\vec{b} (5; 1; z)$. При каких значениях $z$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Тип угла между двумя ненулевыми векторами определяется знаком их скалярного произведения. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ связан со скалярным произведением формулой: $\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Поскольку длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда положительны, знак $\cos(\theta)$ совпадает со знаком скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- Если угол острый ($0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$), то $\cos(\theta) > 0$, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
- Если угол прямой ($\theta = 90^{\circ}$), то $\cos(\theta) = 0$, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
- Если угол тупой ($90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$), то $\cos(\theta) < 0$, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Найдем скалярное произведение данных векторов $\vec{a}(3; -6; -1)$ и $\vec{b}(5; 1; z)$, используя формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 5 + (-6) \cdot 1 + (-1) \cdot z = 15 - 6 - z = 9 - z$.

Теперь, используя полученное выражение $9-z$, найдем значения $z$ для каждого случая.

1) острый;

Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно:
$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$
$9 - z > 0$
$9 > z$, или $z < 9$.
Ответ: угол острый при $z < 9$.

2) прямой;

Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю (в этом случае векторы ортогональны):
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$9 - z = 0$
$z = 9$.
Ответ: угол прямой при $z = 9$.

3) тупой?

Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно:
$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$
$9 - z < 0$
$9 < z$, или $z > 9$.
Ответ: угол тупой при $z > 9$.

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (6; -4; 2)$, $B (3; 2; 3)$, $C (0; 1; 0)$ и $D (3; -5; -1)$ является прямоугольником.

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (6; -4; 2)$, $B (3; 2; 3)$, $C (0; 1; 0)$ и $D (3; -5; -1)$ является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, используя векторы, необходимо установить, что он является параллелограммом, у которого смежные стороны перпендикулярны.

1. Доказательство того, что ABCD — параллелограмм.

Четырехугольник является параллелограммом, если векторы его противоположных сторон равны. Найдем векторы, соответствующие сторонам четырехугольника, используя координаты его вершин: A(6; −4; 2), B(3; 2; 3), C(0; 1; 0) и D(3; −5; −1).

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{AB} = (3 - 6; 2 - (-4); 3 - 2) = (-3; 6; 1)$

$\vec{DC} = (0 - 3; 1 - (-5); 0 - (-1)) = (-3; 6; 1)$

Так как координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{DC}$. Это означает, что стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Этого достаточно, чтобы утверждать, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

2. Доказательство наличия прямого угла.

Теперь докажем, что у параллелограмма есть прямой угол. Для этого проверим перпендикулярность смежных сторон, например, AB и AD. Стороны перпендикулярны, если скалярное произведение их векторов равно нулю.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (3 - 6; -5 - (-4); -1 - 2) = (-3; -1; -3)$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (-3) \cdot (-3) + (6) \cdot (-1) + (1) \cdot (-3) = 9 - 6 - 3 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, а значит, угол $\angle DAB$ — прямой.

Так как ABCD — параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, четырехугольник ABCD является прямоугольником.