Номер 73, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{m} - \vec{n}$ и $\vec{b} = \vec{m} - 2\vec{n}$, где $\left|\vec{m}\right| = \left|\vec{n}\right| = 1$, $\vec{m} \perp \vec{n}$.

73. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} = 3\vec{m} - \vec{n} $ и $ \vec{b} = \vec{m} - 2\vec{n} $, где $ |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 $, $ \vec{m} \perp \vec{n} $.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Даны векторы $\vec{a} = 3\vec{m} - \vec{n}$ и $\vec{b} = \vec{m} - 2\vec{n}$. Также даны условия: $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

Из условия, что векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ перпендикулярны ($\vec{m} \perp \vec{n}$), следует, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{m} - \vec{n}) \cdot (\vec{m} - 2\vec{n}) = 3\vec{m} \cdot \vec{m} - 3\vec{m} \cdot 2\vec{n} - \vec{n} \cdot \vec{m} + \vec{n} \cdot 2\vec{n}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{m}|^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - (\vec{n} \cdot \vec{m}) + 2|\vec{n}|^2$

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}$), получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{m}|^2 - 7(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 2|\vec{n}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{m}|=1$, $|\vec{n}|=1$ и $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(1)^2 - 7(0) + 2(1)^2 = 3 - 0 + 2 = 5$

2. Найдем модули (длины) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Модуль вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (3\vec{m} - \vec{n}) \cdot (3\vec{m} - \vec{n}) = 9|\vec{m}|^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2$

Подставим известные значения:

$|\vec{a}|^2 = 9(1)^2 - 6(0) + (1)^2 = 9 - 0 + 1 = 10$

Следовательно, $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

Модуль вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{m} - 2\vec{n}) \cdot (\vec{m} - 2\vec{n}) = |\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 4|\vec{n}|^2$

Подставим известные значения:

$|\vec{b}|^2 = (1)^2 - 4(0) + 4(1)^2 = 1 - 0 + 4 = 5$

Следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

3. Теперь найдем косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$