Номер 70, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $150^\circ$, $|\vec{a}| = 4\sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 6$. Найдите скалярное произведение $(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a}$.

70. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $150^\circ$, $|\vec{a}| = 4\sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 6$. Найдите скалярное произведение $(4\vec{b} - 3\vec{a})\cdot\vec{a}$.

Для того чтобы найти скалярное произведение $(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a}$, воспользуемся дистрибутивным свойством скалярного произведения (раскроем скобки):

$(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a} = 4(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{a})$

Теперь нам нужно вычислить два скалярных произведения: $\vec{b} \cdot \vec{a}$ и $\vec{a} \cdot \vec{a}$.

1. Скалярное произведение вектора самого на себя (скалярный квадрат) равно квадрату его модуля (длины):

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

По условию задачи, $|\vec{a}| = 4\sqrt{3}$. Подставим это значение:

$\vec{a} \cdot \vec{a} = (4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$

2. Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{b}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — это угол между векторами.

По условию задачи, $|\vec{b}| = 6$, $|\vec{a}| = 4\sqrt{3}$, а угол между векторами $\alpha = 150^\circ$.

Найдем косинус угла $150^\circ$:

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = 6 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 24\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{24\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{24 \cdot 3}{2} = -\frac{72}{2} = -36$

3. Подставим найденные значения скалярных произведений ($\vec{a} \cdot \vec{a} = 48$ и $\vec{b} \cdot \vec{a} = -36$) в исходное выражение:

$4(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 4 \cdot (-36) - 3 \cdot 48 = -144 - 144 = -288$

Ответ: -288