Номер 71, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.

Найдите скалярное произведение $(2\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}+3\vec{b})$.

71. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.

Найдите скалярное произведение $(2\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}+3\vec{b})$.

Для нахождения скалярного произведения $(2\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + 3\vec{b})$ раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения векторов (дистрибутивность и коммутативность):

$(2\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + 3\vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot 3\vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot 3\vec{b} = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Мы знаем, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$) и скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$). Упростим выражение:

$2|\vec{a}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3|\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3|\vec{b}|^2$

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между векторами.

По условию $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$, а угол $\alpha = 45^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим все известные значения в упрощенное выражение:

$2|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3|\vec{b}|^2 = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot 1^2 = 2 + \frac{5\sqrt{2}}{2} - 3 = -1 + \frac{5\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-1 + \frac{5\sqrt{2}}{2}$