Номер 74, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{DD_1}$;

3) $\vec{CB}$ и $\vec{D_1B_1}$.

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{DD_1}$;

3) $\vec{CB}$ и $\vec{D_1B_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AB$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$. Так как ребро куба равно $a$, координаты вершин будут следующими:

$A(0, 0, 0)$, $B(0, a, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(a, 0, 0)$
$A_1(0, 0, a)$, $B_1(0, a, a)$, $C_1(a, a, a)$, $D_1(a, 0, a)$

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2, z_2)$ находится по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

1) $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$

Найдем координаты векторов. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{BA_1}$ имеем начало в точке $B(0, a, 0)$ и конец в точке $A_1(0, 0, a)$. Его координаты:

$\vec{BA_1} = (0-0, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$.

Для вектора $\vec{CD_1}$ имеем начало в точке $C(a, a, 0)$ и конец в точке $D_1(a, 0, a)$. Его координаты:

$\vec{CD_1} = (a-a, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$.

Векторы $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$ равны, так как они являются диагоналями параллельных граней $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ и сонаправлены.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{CD_1} = 0 \cdot 0 + (-a) \cdot (-a) + a \cdot a = 0 + a^2 + a^2 = 2a^2$.

Ответ: $2a^2$

2) $\vec{AB}$ и $\vec{DD_1}$

Найдем координаты векторов.

Координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в $A(0, 0, 0)$ и концом в $B(0, a, 0)$:

$\vec{AB} = (0-0, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$.

Координаты вектора $\vec{DD_1}$ с началом в $D(a, 0, 0)$ и концом в $D_1(a, 0, a)$:

$\vec{DD_1} = (a-a, 0-0, a-0) = (0, 0, a)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{DD_1} = 0 \cdot 0 + a \cdot 0 + 0 \cdot a = 0$.

Скалярное произведение равно нулю, так как векторы перпендикулярны. Вектор $\vec{AB}$ параллелен оси $Oy$, а вектор $\vec{DD_1}$ параллелен оси $Oz$. Оси $Oy$ и $Oz$ перпендикулярны.

Ответ: $0$

3) $\vec{CB}$ и $\vec{D_1B_1}$

Найдем координаты векторов.

Координаты вектора $\vec{CB}$ с началом в $C(a, a, 0)$ и концом в $B(0, a, 0)$:

$\vec{CB} = (0-a, a-a, 0-0) = (-a, 0, 0)$.

Координаты вектора $\vec{D_1B_1}$ с началом в $D_1(a, 0, a)$ и концом в $B_1(0, a, a)$:

$\vec{D_1B_1} = (0-a, a-0, a-a) = (-a, a, 0)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{CB} \cdot \vec{D_1B_1} = (-a) \cdot (-a) + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2$.

Альтернативный способ: заменим вектор $\vec{CB}$ равным ему вектором $\vec{D_1A_1}$ (они оба равны вектору $\vec{DA}$). Тогда нужно найти скалярное произведение $\vec{D_1A_1} \cdot \vec{D_1B_1}$.

По определению, $\vec{D_1A_1} \cdot \vec{D_1B_1} = |\vec{D_1A_1}| \cdot |\vec{D_1B_1}| \cdot \cos(\angle A_1D_1B_1)$.

Длина ребра $|\vec{D_1A_1}| = a$. Длина диагонали грани $|\vec{D_1B_1}| = a\sqrt{2}$. Угол между стороной и диагональю квадрата $\angle A_1D_1B_1 = 45^\circ$.

$\vec{D_1A_1} \cdot \vec{D_1B_1} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = a^2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2$.

Ответ: $a^2$