Номер 68, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Через точку A, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды равна 36 см${}^2$. Найдите площадь основания данной пирамиды, если точка A делит её высоту в отношении $3:4$, считая от вершины пирамиды.

68. Через точку А, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды равна 36 $см^2$. Найдите площадь основания данной пирамиды, если точка А делит её высоту в отношении 3 : 4, считая от вершины пирамиды.

Пусть $S_{осн}$ — искомая площадь основания данной пирамиды, а $H$ — её высота. Плоскость, проведённая через точку $A$, отсекает от данной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной. Обозначим площадь основания этой меньшей пирамиды как $S_{сеч}$, а её высоту как $h$.

По условию, площадь меньшего основания (то есть сечения) равна $S_{сеч} = 36 \text{ см}^2$.

Точка $A$ делит высоту $H$ в отношении $3:4$, считая от вершины. Это означает, что высота меньшей пирамиды $h$ составляет 3 части, а оставшаяся часть высоты (высота усеченной пирамиды) составляет 4 части. Таким образом, вся высота $H$ состоит из $3+4=7$ частей.

Отношение высоты меньшей пирамиды к высоте исходной пирамиды равно:$k = \frac{h}{H} = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$

Это отношение является коэффициентом подобия двух пирамид.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В нашем случае, отношение площади сечения к площади основания равно квадрату отношения их высот:$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = (\frac{h}{H})^2$

Подставим известные значения в формулу:$\frac{36}{S_{осн}} = (\frac{3}{7})^2$$\frac{36}{S_{осн}} = \frac{9}{49}$

Теперь выразим $S_{осн}$:$S_{осн} = \frac{36 \cdot 49}{9}$$S_{осн} = 4 \cdot 49$$S_{осн} = 196 \text{ см}^2$

Ответ: $196 \text{ см}^2$