Номер 68, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Умножение вектора на число. Гомотетия. Вариант 3. Упражнения - номер 68, страница 82.

Условие 2020.

68. Через точку A, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды равна 36 см${}^2$. Найдите площадь основания данной пирамиды, если точка A делит её высоту в отношении $3:4$, считая от вершины пирамиды.

Условие 2023.

68. Через точку А, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды равна 36 $см^2$. Найдите площадь основания данной пирамиды, если точка А делит её высоту в отношении 3 : 4, считая от вершины пирамиды.

Решение.

Решение 2 (2023).

Пусть $S_{осн}$ — искомая площадь основания данной пирамиды, а $H$ — её высота. Плоскость, проведённая через точку $A$, отсекает от данной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной. Обозначим площадь основания этой меньшей пирамиды как $S_{сеч}$, а её высоту как $h$.

По условию, площадь меньшего основания (то есть сечения) равна $S_{сеч} = 36 \text{ см}^2$.

Точка $A$ делит высоту $H$ в отношении $3:4$, считая от вершины. Это означает, что высота меньшей пирамиды $h$ составляет 3 части, а оставшаяся часть высоты (высота усеченной пирамиды) составляет 4 части. Таким образом, вся высота $H$ состоит из $3+4=7$ частей.

Отношение высоты меньшей пирамиды к высоте исходной пирамиды равно:$k = \frac{h}{H} = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$

Это отношение является коэффициентом подобия двух пирамид.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В нашем случае, отношение площади сечения к площади основания равно квадрату отношения их высот:$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = (\frac{h}{H})^2$

Подставим известные значения в формулу:$\frac{36}{S_{осн}} = (\frac{3}{7})^2$$\frac{36}{S_{осн}} = \frac{9}{49}$

Теперь выразим $S_{осн}$:$S_{осн} = \frac{36 \cdot 49}{9}$$S_{осн} = 4 \cdot 49$$S_{осн} = 196 \text{ см}^2$

Ответ: $196 \text{ см}^2$