Страница 82 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $BB_1$, точка $K$ — середина ребра $CD$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $BB_1$, точка $K$ — середина ребра $CD$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, представим его в виде суммы векторов, используя правило многоугольника. Для этого выберем путь из точки M в точку K по рёбрам куба или их частям, например, по ломаной $MBCK$. Тогда искомый вектор будет равен сумме векторов, составляющих эту ломаную:

$\vec{MK} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CK}$

Теперь выразим каждый из этих трёх векторов через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Найдём вектор $\vec{MB}$. По условию, точка M — середина ребра $BB_1$. Это значит, что вектор $\vec{BM}$ составляет половину вектора $\vec{BB_1}$, то есть $\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BB_1}$. Вектор $\vec{MB}$ направлен в противоположную сторону по сравнению с вектором $\vec{BM}$, поэтому $\vec{MB} = -\vec{BM} = -\frac{1}{2}\vec{BB_1}$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является кубом, его боковые рёбра параллельны и равны, следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. В итоге получаем: $\vec{MB} = -\frac{1}{2}\vec{AA_1}$.

2. Найдём вектор $\vec{BC}$. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Векторы, лежащие на противоположных сторонах квадрата, равны, если они сонаправлены. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ удовлетворяют этому условию, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$.

3. Найдём вектор $\vec{CK}$. По условию, точка K — середина ребра $CD$. Следовательно, вектор $\vec{CK}$ равен половине вектора $\vec{CD}$: $\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CD}$. В кубе ребро $CD$ параллельно и равно ребру $BA$. Значит, $\vec{CD} = \vec{BA}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Отсюда следует, что $\vec{CD} = -\vec{AB}$. Подставив это выражение, находим: $\vec{CK} = \frac{1}{2}(-\vec{AB}) = -\frac{1}{2}\vec{AB}$.

Теперь, когда все компоненты разложены по базисным векторам, подставим их в исходную сумму:

$\vec{MK} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CK} = (-\frac{1}{2}\vec{AA_1}) + \vec{AD} + (-\frac{1}{2}\vec{AB})$

Запишем слагаемые в более привычном порядке:

$\vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$.

64. На ребре $AB$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $P$ так, что $AP : PB = 1 : 6$. Выразите вектор $\vec{CP}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

64. На ребре $AB$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $P$ так, что $AP : PB = 1 : 6$. Выразите вектор $\vec{CP}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Для решения задачи представим искомый вектор $\vec{CP}$ в виде комбинации векторов, имеющих общее начало. В качестве общего начала удобно выбрать вершину тетраэдра D, так как базовые векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ выходят из этой точки.

Используя правило вычитания векторов (правило треугольника), можем записать:

$\vec{CP} = \vec{DP} - \vec{DC}$

Теперь необходимо выразить вектор $\vec{DP}$ через заданные векторы. Точка P лежит на ребре AB и, согласно условию, делит его в отношении $AP : PB = 1 : 6$. Это означает, что точка P делит отрезок AB в отношении $\lambda = \frac{1}{6}$.

Для нахождения вектора $\vec{DP}$ воспользуемся формулой для радиус-вектора точки, делящей отрезок в заданном отношении. Если точка P делит отрезок AB в отношении $m:n$, то ее радиус-вектор $\vec{DP}$ выражается через радиус-векторы точек A и B ($\vec{DA}$ и $\vec{DB}$) следующим образом:

$\vec{DP} = \frac{n \cdot \vec{DA} + m \cdot \vec{DB}}{m+n}$

В нашем случае $m=1$ и $n=6$. Подставляем эти значения в формулу:

$\vec{DP} = \frac{6 \cdot \vec{DA} + 1 \cdot \vec{DB}}{1 + 6} = \frac{6\vec{DA} + \vec{DB}}{7} = \frac{6}{7}\vec{DA} + \frac{1}{7}\vec{DB}$

Теперь подставим полученное выражение для вектора $\vec{DP}$ в исходную формулу для $\vec{CP}$:

$\vec{CP} = \left( \frac{6}{7}\vec{DA} + \frac{1}{7}\vec{DB} \right) - \vec{DC}$

Таким образом, мы получили искомое выражение вектора $\vec{CP}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Ответ: $\vec{CP} = \frac{6}{7}\vec{DA} + \frac{1}{7}\vec{DB} - \vec{DC}$

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $BC$ отметили точку $P$ так, что $BP : PC = 1 : 4$, а на отрезке $A_1B$ — точку $O$ так, что $A_1O : OB = 5 : 4$. Выразите вектор $\vec{PO}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DC}$ и $\vec{DD_1}$.

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $BC$ отметили точку $P$ так, что $BP : PC = 1 : 4$, а на отрезке $A_1B$ — точку $O$ так, что $A_1O : OB = 5 : 4$. Выразите вектор $\vec{PO}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DC}$ и $\vec{DD_1}$.

Для решения задачи введем базисные векторы, совпадающие с указанными в условии, и выберем точку D в качестве начала координат. Обозначим:

$\vec{a} = \vec{DA}$

$\vec{c} = \vec{DC}$

$\vec{d_1} = \vec{DD_1}$

Искомый вектор $\vec{PO}$ можно представить в виде разности векторов, проведенных из начала координат D к точкам O и P:

$\vec{PO} = \vec{DO} - \vec{DP}$

Найдем поочередно векторы $\vec{DP}$ и $\vec{DO}$, выразив их через базисные векторы.

1. Нахождение вектора $\vec{DP}$

Точка P лежит на ребре BC, и по условию $BP : PC = 1 : 4$. Это означает, что точка P делит отрезок BC в отношении 1 к 4, считая от B. Тогда $\vec{BP} = \frac{1}{1+4}\vec{BC} = \frac{1}{5}\vec{BC}$.

Выразим вектор $\vec{DP}$ через сумму векторов, идущих по ребрам параллелепипеда:

$\vec{DP} = \vec{DC} + \vec{CB} + \vec{BP}$

В параллелепипеде $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$, поэтому $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$. Значит, $\vec{BC} = -\vec{a}$.

Тогда $\vec{BP} = \frac{1}{5}\vec{BC} = -\frac{1}{5}\vec{a}$.

Чтобы найти $\vec{DP}$, можно пойти другим путем: $\vec{DP} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BP}$. В параллелепипеде $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{c}$.

Подставляя известные векторы, получаем:

$\vec{DP} = \vec{a} + \vec{c} + (-\frac{1}{5}\vec{a}) = (1 - \frac{1}{5})\vec{a} + \vec{c} = \frac{4}{5}\vec{a} + \vec{c}$.

2. Нахождение вектора $\vec{DO}$

Точка O лежит на отрезке $A_1B$ и делит его в отношении $A_1O : OB = 5 : 4$. По формуле для радиус-вектора точки, делящей отрезок в заданном отношении:

$\vec{DO} = \frac{4 \cdot \vec{DA_1} + 5 \cdot \vec{DB}}{4+5} = \frac{4}{9}\vec{DA_1} + \frac{5}{9}\vec{DB}$

Выразим векторы $\vec{DA_1}$ и $\vec{DB}$ через базисные:

$\vec{DA_1} = \vec{DA} + \vec{AA_1}$. Так как $\vec{AA_1} = \vec{DD_1} = \vec{d_1}$, то $\vec{DA_1} = \vec{a} + \vec{d_1}$.

$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$. Так как $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{c}$, то $\vec{DB} = \vec{a} + \vec{c}$.

Теперь подставим эти выражения в формулу для $\vec{DO}$:

$\vec{DO} = \frac{4}{9}(\vec{a} + \vec{d_1}) + \frac{5}{9}(\vec{a} + \vec{c}) = \frac{4}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{d_1} + \frac{5}{9}\vec{a} + \frac{5}{9}\vec{c}$

$\vec{DO} = (\frac{4}{9} + \frac{5}{9})\vec{a} + \frac{5}{9}\vec{c} + \frac{4}{9}\vec{d_1} = \vec{a} + \frac{5}{9}\vec{c} + \frac{4}{9}\vec{d_1}$

3. Нахождение вектора $\vec{PO}$

Теперь, когда у нас есть выражения для $\vec{DO}$ и $\vec{DP}$, мы можем найти их разность:

$\vec{PO} = \vec{DO} - \vec{DP} = (\vec{a} + \frac{5}{9}\vec{c} + \frac{4}{9}\vec{d_1}) - (\frac{4}{5}\vec{a} + \vec{c})$

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых базисных векторах:

$\vec{PO} = (1 - \frac{4}{5})\vec{a} + (\frac{5}{9} - 1)\vec{c} + \frac{4}{9}\vec{d_1}$

$\vec{PO} = \frac{1}{5}\vec{a} - \frac{4}{9}\vec{c} + \frac{4}{9}\vec{d_1}$

Подставим обратно исходные обозначения векторов:

$\vec{PO} = \frac{1}{5}\vec{DA} - \frac{4}{9}\vec{DC} + \frac{4}{9}\vec{DD_1}$

Ответ: $\vec{PO} = \frac{1}{5}\vec{DA} - \frac{4}{9}\vec{DC} + \frac{4}{9}\vec{DD_1}$.

66. Найдите координаты образа точки D (34; -52; -20) при гомотетии с центром в точке С (10; -22; -8) и коэффициентом гомотетии $k = \frac{5}{6}$.

66. Найдите координаты образа точки D (34; -52; -20) при гомотетии с центром в точке C (10; -22; -8) и коэффициентом гомотетии $k = \frac{5}{6}$.

Гомотетия с центром в точке $C(x_c; y_c; z_c)$ и коэффициентом $k$ преобразует точку $D(x_d; y_d; z_d)$ в точку $D'(x'; y'; z')$, координаты которой находятся по следующим формулам:

$x' = x_c + k \cdot (x_d - x_c)$

$y' = y_c + k \cdot (y_d - y_c)$

$z' = z_c + k \cdot (z_d - z_c)$

В данной задаче нам даны:

Координаты точки $D(34; -52; -20)$.

Координаты центра гомотетии $C(10; -22; -8)$.

Коэффициент гомотетии $k = \frac{5}{6}$.

Подставим эти значения в формулы для нахождения координат образа точки $D'$, которую мы обозначим как $D'(x'; y'; z')$.

Вычисляем координату $x'$:

$x' = 10 + \frac{5}{6} \cdot (34 - 10) = 10 + \frac{5}{6} \cdot 24 = 10 + 5 \cdot 4 = 10 + 20 = 30$.

Вычисляем координату $y'$:

$y' = -22 + \frac{5}{6} \cdot (-52 - (-22)) = -22 + \frac{5}{6} \cdot (-52 + 22) = -22 + \frac{5}{6} \cdot (-30) = -22 + 5 \cdot (-5) = -22 - 25 = -47$.

Вычисляем координату $z'$:

$z' = -8 + \frac{5}{6} \cdot (-20 - (-8)) = -8 + \frac{5}{6} \cdot (-20 + 8) = -8 + \frac{5}{6} \cdot (-12) = -8 + 5 \cdot (-2) = -8 - 10 = -18$.

Таким образом, координаты образа точки $D$ при данной гомотетии равны $(30; -47; -18)$.

Ответ: $(30; -47; -18)$.

67. Образом точки $K (4; -5; 6)$ при гомотетии с центром $M (2; -1; 3)$ является точка $K_1 (6; -9; 9)$. Найдите прообраз $N$ точки $N_1 (12; -7; 17)$ при этой гомотетии.

67. Образом точки $K (4; -5; 6)$ при гомотетии с центром $M (2; -1; 3)$ является точка $K_1 (6; -9; 9)$. Найдите прообраз $N$ точки $N_1 (12; -7; 17)$ при этой гомотетии.

Гомотетия (или дилатация) с центром $M(x_m; y_m; z_m)$ и коэффициентом $k$ преобразует точку $P(x_p; y_p; z_p)$ в точку $P'(x_p'; y_p'; z_p')$ согласно векторному равенству $\vec{MP'} = k \cdot \vec{MP}$.

В координатной форме это равенство записывается в виде системы уравнений:

$\begin{cases} x_p' - x_m = k \cdot (x_p - x_m) \\ y_p' - y_m = k \cdot (y_p - y_m) \\ z_p' - z_m = k \cdot (z_p - z_m) \end{cases}$

Решение задачи состоит из двух шагов: сначала нужно найти коэффициент гомотетии $k$, а затем, используя его, найти прообраз точки $N_1$.

1. Нахождение коэффициента гомотетии

По условию, образом точки $K(4; -5; 6)$ является точка $K_1(6; -9; 9)$ при гомотетии с центром $M(2; -1; 3)$. Следовательно, для этих точек выполняется равенство $\vec{MK_1} = k \cdot \vec{MK}$.

Найдем координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{MK_1}$:

$\vec{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M; z_K - z_M) = (4 - 2; -5 - (-1); 6 - 3) = (2; -4; 3)$.

$\vec{MK_1} = (x_{K_1} - x_M; y_{K_1} - y_M; z_{K_1} - z_M) = (6 - 2; -9 - (-1); 9 - 3) = (4; -8; 6)$.

Подставим координаты векторов в формулу гомотетии: $(4; -8; 6) = k \cdot (2; -4; 3)$.

Приравнивая соответствующие координаты, получаем:

$4 = k \cdot 2 \implies k = \frac{4}{2} = 2$

$-8 = k \cdot (-4) \implies k = \frac{-8}{-4} = 2$

$6 = k \cdot 3 \implies k = \frac{6}{3} = 2$

Таким образом, коэффициент гомотетии $k = 2$.

2. Нахождение прообраза N точки N₁

Теперь нам нужно найти прообраз $N(x_N; y_N; z_N)$ для точки $N_1(12; -7; 17)$ при гомотетии с тем же центром $M(2; -1; 3)$ и найденным коэффициентом $k=2$.

Точка $N$ является прообразом, а $N_1$ — образом, поэтому для них выполняется соотношение $\vec{MN_1} = k \cdot \vec{MN}$.

Чтобы найти координаты точки $N$, выразим вектор $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{k} \cdot \vec{MN_1} = \frac{1}{2} \cdot \vec{MN_1}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{MN_1}$:

$\vec{MN_1} = (x_{N_1} - x_M; y_{N_1} - y_M; z_{N_1} - z_M) = (12 - 2; -7 - (-1); 17 - 3) = (10; -6; 14)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2} \cdot (10; -6; 14) = (5; -3; 7)$.

Координаты вектора $\vec{MN}$ также равны $(x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M)$. Приравняем их к найденным значениям и найдем координаты точки $N$:

$x_N - x_M = 5 \implies x_N - 2 = 5 \implies x_N = 7$

$y_N - y_M = -3 \implies y_N - (-1) = -3 \implies y_N + 1 = -3 \implies y_N = -4$

$z_N - z_M = 7 \implies z_N - 3 = 7 \implies z_N = 10$

Следовательно, искомый прообраз — это точка $N$ с координатами $(7; -4; 10)$.

Ответ: $N(7; -4; 10)$.

68. Через точку A, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды равна 36 см${}^2$. Найдите площадь основания данной пирамиды, если точка A делит её высоту в отношении $3:4$, считая от вершины пирамиды.

68. Через точку А, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды равна 36 $см^2$. Найдите площадь основания данной пирамиды, если точка А делит её высоту в отношении 3 : 4, считая от вершины пирамиды.

Пусть $S_{осн}$ — искомая площадь основания данной пирамиды, а $H$ — её высота. Плоскость, проведённая через точку $A$, отсекает от данной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной. Обозначим площадь основания этой меньшей пирамиды как $S_{сеч}$, а её высоту как $h$.

По условию, площадь меньшего основания (то есть сечения) равна $S_{сеч} = 36 \text{ см}^2$.

Точка $A$ делит высоту $H$ в отношении $3:4$, считая от вершины. Это означает, что высота меньшей пирамиды $h$ составляет 3 части, а оставшаяся часть высоты (высота усеченной пирамиды) составляет 4 части. Таким образом, вся высота $H$ состоит из $3+4=7$ частей.

Отношение высоты меньшей пирамиды к высоте исходной пирамиды равно:$k = \frac{h}{H} = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$

Это отношение является коэффициентом подобия двух пирамид.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В нашем случае, отношение площади сечения к площади основания равно квадрату отношения их высот:$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = (\frac{h}{H})^2$

Подставим известные значения в формулу:$\frac{36}{S_{осн}} = (\frac{3}{7})^2$$\frac{36}{S_{осн}} = \frac{9}{49}$

Теперь выразим $S_{осн}$:$S_{осн} = \frac{36 \cdot 49}{9}$$S_{осн} = 4 \cdot 49$$S_{осн} = 196 \text{ см}^2$

Ответ: $196 \text{ см}^2$

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}| = 8, |\vec{b}| = 7, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 45^{\circ};$

2) $|\vec{a}| = 10, |\vec{b}| = 11, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 120^{\circ};$

3) $|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 6, \angle(\vec{a},\vec{b}) = 90^{\circ}.$

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}|=8, |\vec{b}|=7, \angle(\vec{a}, \vec{b})=45^\circ;$

2) $|\vec{a}|=10, |\vec{b}|=11, \angle(\vec{a}, \vec{b})=120^\circ;$

3) $|\vec{a}|=5, |\vec{b}|=6, \angle(\vec{a}, \vec{b})=90^\circ.$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула для вычисления скалярного произведения выглядит следующим образом:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Применим эту формулу для каждого из пунктов задачи.

1) Даны длины векторов $|\vec{a}| = 8$, $|\vec{b}| = 7$ и угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)$
Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 56 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 28\sqrt{2}$.
Ответ: $28\sqrt{2}$

2) Даны длины векторов $|\vec{a}| = 10$, $|\vec{b}| = 11$ и угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10 \cdot 11 \cdot \cos(120^\circ)$
Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 110 \cdot (-\frac{1}{2}) = -55$.
Ответ: $-55$

3) Даны длины векторов $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 6$ и угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 6 \cdot \cos(90^\circ)$
Зная, что $\cos(90^\circ) = 0$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 30 \cdot 0 = 0$.
(Скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю).
Ответ: $0$

70. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $150^\circ$, $|\vec{a}| = 4\sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 6$. Найдите скалярное произведение $(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a}$.

70. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $150^\circ$, $|\vec{a}| = 4\sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 6$. Найдите скалярное произведение $(4\vec{b} - 3\vec{a})\cdot\vec{a}$.

Для того чтобы найти скалярное произведение $(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a}$, воспользуемся дистрибутивным свойством скалярного произведения (раскроем скобки):

$(4\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot \vec{a} = 4(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{a})$

Теперь нам нужно вычислить два скалярных произведения: $\vec{b} \cdot \vec{a}$ и $\vec{a} \cdot \vec{a}$.

1. Скалярное произведение вектора самого на себя (скалярный квадрат) равно квадрату его модуля (длины):

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

По условию задачи, $|\vec{a}| = 4\sqrt{3}$. Подставим это значение:

$\vec{a} \cdot \vec{a} = (4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$

2. Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{b}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — это угол между векторами.

По условию задачи, $|\vec{b}| = 6$, $|\vec{a}| = 4\sqrt{3}$, а угол между векторами $\alpha = 150^\circ$.

Найдем косинус угла $150^\circ$:

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = 6 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 24\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{24\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{24 \cdot 3}{2} = -\frac{72}{2} = -36$

3. Подставим найденные значения скалярных произведений ($\vec{a} \cdot \vec{a} = 48$ и $\vec{b} \cdot \vec{a} = -36$) в исходное выражение:

$4(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 4 \cdot (-36) - 3 \cdot 48 = -144 - 144 = -288$

Ответ: -288

71. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.

Найдите скалярное произведение $(2\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}+3\vec{b})$.

71. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.

Найдите скалярное произведение $(2\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}+3\vec{b})$.

Для нахождения скалярного произведения $(2\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + 3\vec{b})$ раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения векторов (дистрибутивность и коммутативность):

$(2\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + 3\vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot 3\vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot 3\vec{b} = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Мы знаем, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$) и скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$). Упростим выражение:

$2|\vec{a}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3|\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3|\vec{b}|^2$

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между векторами.

По условию $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$, а угол $\alpha = 45^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим все известные значения в упрощенное выражение:

$2|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3|\vec{b}|^2 = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot 1^2 = 2 + \frac{5\sqrt{2}}{2} - 3 = -1 + \frac{5\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-1 + \frac{5\sqrt{2}}{2}$