Страница 80 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 5; 2; 3;

2) 4; 6; 3;

3) 8; 9; 18?

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 5; 2; 3;

2) 4; 6; 3;

3) 8; 9; 18?

Для того чтобы сумма трех векторов была равна нулевому вектору, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы, отложенные последовательно друг за другом (начало следующего вектора совпадает с концом предыдущего), образовывали замкнутую фигуру — треугольник (возможно, вырожденный). Это возможно только в том случае, если их модули (длины) удовлетворяют неравенству треугольника: длина наибольшего вектора должна быть меньше или равна сумме длин двух других.

1) 5; 2; 3;

Пусть модули векторов равны $a=5$, $b=2$ и $c=3$. Наибольший модуль — 5. Проверим, выполняется ли для этих длин неравенство треугольника:
$5 \le 2 + 3$
$5 \le 5$
Неравенство выполняется как равенство. Это соответствует вырожденному треугольнику, то есть векторы коллинеарны. Если векторы с модулями 2 и 3 направить в одну сторону, а вектор с модулем 5 — в противоположную, их сумма будет равна нулевому вектору.
Ответ: Да, может.

2) 4; 6; 3;

Пусть модули векторов равны $a=4$, $b=6$ и $c=3$. Наибольший модуль — 6. Проверим неравенство треугольника:
$6 \le 4 + 3$
$6 \le 7$
Неравенство выполняется. Следовательно, из векторов с такими модулями можно составить замкнутый треугольник, а значит, их сумма может быть равна нулевому вектору.
Ответ: Да, может.

3) 8; 9; 18?

Пусть модули векторов равны $a=8$, $b=9$ и $c=18$. Наибольший модуль — 18. Проверим неравенство треугольника:
$18 \le 8 + 9$
$18 \le 17$
Это неравенство ложно. Длина наибольшего вектора больше суммы длин двух других. Следовательно, из векторов с такими модулями невозможно составить замкнутый треугольник (даже вырожденный), и их сумма не может быть равна нулевому вектору.
Ответ: Нет, не может.

40. Даны векторы $\vec{c}$ (-3; 1; 2) и $\vec{d}$ (5; -6; 7). Найдите:

1) координаты вектора $\vec{c} + \vec{d}$;

2) $|\vec{c} + \vec{d}|$.

40. Даны векторы $ \vec{c} (-3; 1; 2) $ и $ \vec{d} (5; -6; 7) $. Найдите:

1) координаты вектора $ \vec{c} + \vec{d} $;

2) $ |\vec{c} + \vec{d}| $.

1) координаты вектора $\vec{c} + \vec{d}$;

Для того чтобы найти координаты суммы векторов, необходимо сложить их соответствующие координаты.
Даны векторы $\vec{c}(-3; 1; 2)$ и $\vec{d}(5; -6; 7)$.
Найдём координаты вектора $\vec{c} + \vec{d}$:
$\vec{c} + \vec{d} = (-3 + 5; 1 + (-6); 2 + 7) = (2; -5; 9)$.
Ответ: $(2; -5; 9)$.

2) $|\vec{c} + \vec{d}|$.

Модуль (или длина) вектора $\vec{v}(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
В предыдущем пункте мы нашли, что вектор $\vec{c} + \vec{d}$ имеет координаты $(2; -5; 9)$.
Теперь найдем его модуль:
$|\vec{c} + \vec{d}| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 25 + 81} = \sqrt{110}$.
Ответ: $\sqrt{110}$.

41. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{AA_1}$ и $\vec{CB_1}$;

2) $\vec{AD}$ и $\vec{B_1 D}$.

41. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{AA_1}$ и $\vec{CB_1}$;

2) $\vec{AD}$ и $\vec{B_1D}$.

1)

Требуется найти разность векторов $\vec{AA_1} - \vec{CB_1}$.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани являются параллельными и равными квадратами, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это означает, что существуют группы равных векторов. Вектор $\vec{AA_1}$ представляет собой боковое ребро куба. Ему равен, например, вектор $\vec{BB_1}$, так как они сонаправлены (оба перпендикулярны нижнему основанию и направлены вверх) и их длины равны (равны ребру куба).
$\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$.
Рассмотрим вектор $\vec{CB_1}$. По правилу треугольника (правилу сложения векторов), мы можем разложить его на сумму векторов, составляющих путь из точки C в точку B₁:
$\vec{CB_1} = \vec{CB} + \vec{BB_1}$.
Теперь подставим это разложение в исходное выражение для разности:
$\vec{AA_1} - \vec{CB_1} = \vec{AA_1} - (\vec{CB} + \vec{BB_1})$.
Используя равенство $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$, заменим $\vec{AA_1}$:
$\vec{BB_1} - (\vec{CB} + \vec{BB_1}) = \vec{BB_1} - \vec{CB} - \vec{BB_1} = -\vec{CB}$.
Вектор $-\vec{CB}$ является вектором, противоположным вектору $\vec{CB}$, то есть это вектор $\vec{BC}$.
$-\vec{CB} = \vec{BC}$.
Поскольку грань ABCD является квадратом, то стороны BC и AD параллельны и равны, следовательно, векторы, лежащие на них, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Таким образом, искомая разность равна $\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{AD}$

2)

Требуется найти разность векторов $\vec{AD} - \vec{B_1D}$.
Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ эквивалентна сумме вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного $\vec{b}$, то есть $\vec{a} + (-\vec{b})$.
В нашем случае, вектор, противоположный вектору $\vec{B_1D}$, это вектор $\vec{DB_1}$.
Следовательно, мы можем переписать разность как сумму:
$\vec{AD} - \vec{B_1D} = \vec{AD} + \vec{DB_1}$.
Теперь воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля): если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго.
В выражении $\vec{AD} + \vec{DB_1}$ конец первого вектора (точка D) совпадает с началом второго вектора (точка D).
Значит, результатом сложения будет вектор, соединяющий начальную точку первого вектора (A) и конечную точку второго (B₁).
$\vec{AD} + \vec{DB_1} = \vec{AB_1}$.
Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$.

Ответ: $\vec{AB_1}$

42. Даны векторы $\vec{c}$ (-3; 1; 2) и $\vec{d}$ (5; -6; 7). Найдите $|\vec{c} - \vec{d}|.

42. Даны векторы $\vec{c} (-3; 1; 2)$ и $\vec{d} (5; -6; 7)$. Найдите $|\vec{c} - \vec{d}|$.

Для того чтобы найти модуль разности векторов $|\vec{c} - \vec{d}|$, необходимо выполнить два действия: сначала найти координаты вектора разности $\vec{c} - \vec{d}$, а затем вычислить его модуль (длину).

1. Найдем координаты вектора разности $\vec{c} - \vec{d}$

Даны векторы $\vec{c} (-3; 1; 2)$ и $\vec{d} (5; -6; 7)$.

Чтобы найти разность двух векторов, нужно из координат первого вектора вычесть соответствующие координаты второго вектора:

$\vec{c} - \vec{d} = (-3 - 5; 1 - (-6); 2 - 7)$

$\vec{c} - \vec{d} = (-8; 1 + 6; -5)$

$\vec{c} - \vec{d} = (-8; 7; -5)$

2. Найдем модуль вектора $|\vec{c} - \vec{d}|$

Модуль вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Применим эту формулу для найденного вектора разности $(-8; 7; -5)$:

$|\vec{c} - \vec{d}| = \sqrt{(-8)^2 + 7^2 + (-5)^2}$

$|\vec{c} - \vec{d}| = \sqrt{64 + 49 + 25}$

$|\vec{c} - \vec{d}| = \sqrt{138}$

Число 138 нельзя упростить, так как оно не содержит квадратов простых множителей ($138 = 2 \cdot 3 \cdot 23$).

Ответ: $\sqrt{138}$.

43. Найдите координаты точки K такой, что $\overrightarrow{MK} - \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{0}$, если $M (0; 5; -8)$, $N (-6; 3; 7)$.

43. Найдите координаты точки K такой, что $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}$, если $M (0; 5; -8)$, $N (-6; 3; 7)$.

По условию задачи дано векторное равенство $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}$.

Сначала преобразуем это уравнение, перенеся вектор $\vec{KN}$ в правую часть:
$\vec{MK} = \vec{KN}$

Это равенство означает, что векторы $\vec{MK}$ и $\vec{KN}$ равны. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Геометрически это означает, что точка K является серединой отрезка MN.

Пусть искомая точка $K$ имеет координаты $(x; y; z)$. Координаты заданных точек: $M(0; 5; -8)$ и $N(-6; 3; 7)$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала. Выразим координаты вектора $\vec{MK}$ через координаты точек M и K:
$\vec{MK} = (x - 0; y - 5; z - (-8)) = (x; y - 5; z + 8)$

Теперь выразим координаты вектора $\vec{KN}$ через координаты точек K и N:
$\vec{KN} = (-6 - x; 3 - y; 7 - z)$

Так как $\vec{MK} = \vec{KN}$, мы можем приравнять их соответствующие координаты, чтобы составить систему уравнений для нахождения $(x; y; z)$:
$x = -6 - x$
$y - 5 = 3 - y$
$z + 8 = 7 - z$

Решим каждое уравнение этой системы:
Из первого уравнения: $2x = -6 \Rightarrow x = -3$.
Из второго уравнения: $2y = 3 + 5 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4$.
Из третьего уравнения: $2z = 7 - 8 \Rightarrow 2z = -1 \Rightarrow z = -0.5$.

Таким образом, мы нашли координаты точки K.
Ответ: K(-3; 4; -0.5)

44. Даны векторы $\vec{m} (4; -2; 2)$, $\vec{n} (1; 3; 1)$, $\vec{k} (-1; y; -6)$.

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$?

44. Даны векторы $\vec{m}$ (4; -2; 2), $\vec{n}$ (1; 3; 1), $\vec{k}$ (-1; y; -6). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}|$?

Чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$, сначала найдем координаты этого результирующего вектора. Обозначим его как $\vec{a}$.

Координаты вектора $\vec{a}$ вычисляются как разность соответствующих координат векторов $\vec{m}$, $\vec{n}$ и $\vec{k}$:
$\vec{a} = \vec{m} - \vec{n} - \vec{k} = (4 - 1 - (-1); -2 - 3 - y; 2 - 1 - (-6))$
$\vec{a} = (4 - 1 + 1; -5 - y; 2 - 1 + 6)$
$\vec{a} = (4; -5 - y; 7)$

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{a}$. Модуль вектора с координатами $(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{a}$:
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-5 - y)^2 + 7^2}$
$|\vec{a}| = \sqrt{16 + (-(5 + y))^2 + 49}$
$|\vec{a}| = \sqrt{16 + (y + 5)^2 + 49}$
$|\vec{a}| = \sqrt{65 + (y + 5)^2}$

Нам необходимо найти наименьшее значение выражения $|\vec{a}| = \sqrt{65 + (y + 5)^2}$. Значение этого выражения будет минимальным, когда подкоренное выражение $65 + (y + 5)^2$ будет минимальным.

Поскольку слагаемое $65$ является константой, нам нужно минимизировать слагаемое $(y + 5)^2$. Так как это квадрат действительного числа, его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается при условии, что выражение в скобках равно нулю:
$y + 5 = 0$
$y = -5$

При $y = -5$ подкоренное выражение принимает свое наименьшее значение:
$65 + (-5 + 5)^2 = 65 + 0^2 = 65$

Следовательно, наименьшее значение модуля вектора равно корню из этого числа:
$|\vec{a}|_{min} = \sqrt{65}$

Ответ: $\sqrt{65}$

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{CD}$;

2) $\vec{B_1C}$;

3) $\vec{A_1C}$, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{CD}$;

2) $\vec{B_1C}$;

3) $\vec{A_1C}$, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

Два вектора называются противоположными, если они имеют равные длины (модули) и противоположные направления. Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, есть вектор $-\vec{a}$. Для вектора $\vec{XY}$ противоположным будет вектор $-\vec{XY} = \vec{YX}$. Задача состоит в том, чтобы найти все векторы, равные противоположному к данному, с началом и концом в вершинах параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вектор, противоположный вектору $\vec{CD}$, это вектор $-\vec{CD} = \vec{DC}$.
Найдём все векторы, равные вектору $\vec{DC}$. В параллелепипеде ребра, параллельные друг другу, равны по длине. Векторы, направленные вдоль этих ребер в одну сторону, равны. Вектору $\vec{DC}$ равны следующие векторы:
- $\vec{AB}$ (так как $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{DC} = \vec{AB}$);
- $\vec{D_1C_1}$ (так как $DCC_1D_1$ — параллелограмм, $\vec{DC} = \vec{D_1C_1}$);
- $\vec{A_1B_1}$ (так как $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, $\vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$).
Таким образом, все четыре вектора $\vec{DC}, \vec{AB}, \vec{A_1B_1}, \vec{D_1C_1}$ равны между собой.

Ответ: $\vec{DC}, \vec{AB}, \vec{A_1B_1}, \vec{D_1C_1}$.

Вектор, противоположный вектору $\vec{B_1C}$, это вектор $-\vec{B_1C} = \vec{CB_1}$.
Вектор $\vec{CB_1}$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Противоположная ей грань $ADD_1A_1$ параллельна и равна ей. При параллельном переносе, который совмещает грань $BCC_1B_1$ с гранью $ADD_1A_1$ (например, на вектор $\vec{BA}$), вектор-диагональ $\vec{CB_1}$ переходит в равный ему вектор-диагональ $\vec{DA_1}$.
Следовательно, $\vec{CB_1} = \vec{DA_1}$. Других векторов, равных $\vec{CB_1}$ и соединяющих вершины параллелепипеда, нет.

Ответ: $\vec{CB_1}, \vec{DA_1}$.

Вектор, противоположный вектору $\vec{A_1C}$, это вектор $-\vec{A_1C} = \vec{CA_1}$.
Вектор $\vec{CA_1}$ является пространственной диагональю параллелепипеда. Он соединяет противоположные вершины $C$ и $A_1$. В параллелепипеде нет другого отрезка, который был бы параллелен, равен по длине и одинаково направлен с отрезком $CA_1$, и концы которого находились бы в вершинах. Поэтому существует только один такой вектор.

Ответ: $\vec{CA_1}$.

46. Укажите координаты вектора, противоположного вектору $\vec{c}$ $(19; -20; 24)$.

46. Укажите координаты вектора, противоположного вектору $\vec{c}(19; -20; 24)$.

Два вектора называются противоположными, если они имеют равные модули (длины) и противоположные направления. Если вектор $\vec{a}$ задан своими координатами $\vec{a} = (x; y; z)$, то противоположный ему вектор $-\vec{a}$ будет иметь координаты $(-x; -y; -z)$. Иначе говоря, для нахождения координат противоположного вектора необходимо изменить знак каждой координаты исходного вектора на противоположный.

В данной задаче задан вектор $\vec{c}$ с координатами $(19; -20; 24)$.

Найдем координаты противоположного ему вектора $-\vec{c}$ путем умножения каждой координаты на $-1$:

$-\vec{c} = (-1 \cdot 19; -1 \cdot (-20); -1 \cdot 24) = (-19; 20; -24)$.

Таким образом, вектор, противоположный вектору $\vec{c} (19; -20; 24)$, имеет координаты $(-19; 20; -24)$.

Ответ: $(-19; 20; -24)$.

47. Упростите выражение:

1) $\vec{BD} + \vec{AM} + \vec{DC} + \vec{MF} + \vec{FT} + \vec{CB};$

2) $\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD}.$

47. Упростите выражение:

1) $\vec{BD} + \vec{AM} + \vec{DC} + \vec{MF} + \vec{FT} + \vec{CB};$

2) $\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD}.$

Чтобы упростить выражение $\vec{BD} + \vec{AM} + \vec{DC} + \vec{MF} + \vec{FT} + \vec{CB}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило многоугольника или правило Шаля), которое гласит, что сумма векторов, образующих ломаную линию, равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом последнего. Для этого сгруппируем векторы в удобном порядке.

Исходное выражение: $\vec{BD} + \vec{AM} + \vec{DC} + \vec{MF} + \vec{FT} + \vec{CB}$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы можно было применить правило Шаля:
$(\vec{AM} + \vec{MF} + \vec{FT}) + (\vec{BD} + \vec{DC}) + \vec{CB}$

Упростим первую группу, последовательно складывая векторы:
$\vec{AM} + \vec{MF} + \vec{FT} = (\vec{AM} + \vec{MF}) + \vec{FT} = \vec{AF} + \vec{FT} = \vec{AT}$

Упростим вторую группу:
$\vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}$

Подставим полученные результаты обратно в выражение:
$\vec{AT} + \vec{BC} + \vec{CB}$

Сложим векторы $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$. Эти векторы противоположны, поэтому их сумма равна нулевому вектору:
$\vec{BC} + \vec{CB} = \vec{BB} = \vec{0}$

Таким образом, итоговое выражение равно:
$\vec{AT} + \vec{0} = \vec{AT}$

Ответ: $\vec{AT}$

Чтобы упростить выражение $\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD}$, сначала заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами, используя правило $-\vec{XY} = \vec{YX}$.

Исходное выражение: $\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD}$.

Преобразуем вычитание в сложение:
$\vec{BC} + (-\vec{AE}) + \vec{AD} + (-\vec{PC}) + (-\vec{BD}) = \vec{BC} + \vec{EA} + \vec{AD} + \vec{CP} + \vec{DB}$

Теперь перегруппируем векторы так, чтобы составить из них непрерывную цепочку, где конец предыдущего вектора совпадает с началом следующего, и применить правило Шаля:
$\vec{EA} + \vec{AD} + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CP}$

Последовательно сложим векторы в этой цепочке:
1. $(\vec{EA} + \vec{AD}) + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{ED} + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CP}$
2. $(\vec{ED} + \vec{DB}) + \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{EB} + \vec{BC} + \vec{CP}$
3. $(\vec{EB} + \vec{BC}) + \vec{CP} = \vec{EC} + \vec{CP}$
4. $\vec{EC} + \vec{CP} = \vec{EP}$

Таким образом, результатом упрощения является вектор $\vec{EP}$.

Ответ: $\vec{EP}$

48. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{D_1C_1} + \vec{C_1B} + \vec{C_1D}$.

48. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{D_1C_1} + \vec{C_1B} + \vec{C_1D}$.

Для нахождения суммы векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{C_1B} + \overrightarrow{C_1D}$ воспользуемся свойствами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и правилами сложения векторов.

1. В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным, сонаправленным и равным по длине рёбрам, равны. Начнём с замены некоторых векторов в выражении на равные им, чтобы облегчить дальнейшие преобразования.

• Вектор $\overrightarrow{D_1C_1}$ равен вектору $\overrightarrow{AB}$, так как $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — равные параллелограммы, а рёбра $AB$ и $D_1C_1$ параллельны и сонаправлены. То есть, $\overrightarrow{D_1C_1} = \overrightarrow{AB}$.
• Вектор $\overrightarrow{C_1B}$ равен вектору $\overrightarrow{D_1A}$. Это можно доказать, разложив оба вектора: $\overrightarrow{C_1B} = \overrightarrow{C_1B_1} + \overrightarrow{B_1B}$ и $\overrightarrow{D_1A} = \overrightarrow{D_1A_1} + \overrightarrow{A_1A}$. Поскольку $\overrightarrow{C_1B_1} = \overrightarrow{D_1A_1}$ (свойства грани $A_1B_1C_1D_1$) и $\overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{A_1A}$ (свойства боковых рёбер), то равенство $\overrightarrow{C_1B} = \overrightarrow{D_1A}$ верно.

2. Разложим оставшийся сложный вектор $\overrightarrow{C_1D}$ по правилу треугольника, используя смежные вершины: $\overrightarrow{C_1D} = \overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{D_1D}$.

3. Теперь подставим все эти эквивалентные выражения и разложения в исходную сумму, которую обозначим как $S$:

$S = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + (\overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{D_1A}) + (\overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{D_1D})$

4. Продолжим упрощение, заменив вектор $\overrightarrow{C_1D_1}$ на равный ему вектор $\overrightarrow{BA}$ (так как $\overrightarrow{C_1D_1}$ и $\overrightarrow{BA}$ параллельны, сонаправлены и равны по длине).

$S = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{D_1A} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{D_1D}$

5. Перегруппируем слагаемые для удобства вычисления:

$S = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{D_1D}) + \overrightarrow{D_1A}$

6. Упростим выражения в каждой из скобок:

• Поскольку $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, первая скобка упрощается до: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}$.
• Поскольку $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{DD_1}$, то вектор $\overrightarrow{D_1D}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{AA_1}$ ($\overrightarrow{D_1D} = -\overrightarrow{DD_1} = -\overrightarrow{AA_1}$). Таким образом, их сумма равна нулевому вектору: $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{D_1D} = \overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AA_1} = \vec{0}$.

7. Подставим упрощенные значения обратно в выражение для $S$:

$S = \overrightarrow{AB} + \vec{0} + \overrightarrow{D_1A}$

$S = \overrightarrow{D_1A} + \overrightarrow{AB}$

8. Наконец, применим правило треугольника (также известное как правило Шаля) для сложения векторов $\overrightarrow{D_1A}$ и $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{D_1A} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D_1B}$

Ответ: $\overrightarrow{D_1B}$

49. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, $AC = 16$ см, $\angle CAD = 30^\circ$. Найдите модуль вектора $\vec{c} = \vec{MB} - \vec{MD} - \vec{DA}$.

49. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, $AC = 16$ см, $\angle CAD = 30^\circ$. Найдите модуль вектора $\vec{c} = \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MD} - \overrightarrow{DA}$.

Для решения задачи сначала упростим заданное векторное выражение $\vec{c} = \vec{MB} - \vec{MD} - \vec{DA}$.

Используем правило вычитания векторов, исходящих из одной точки: разность векторов $\vec{MB}$ и $\vec{MD}$ равна вектору $\vec{DB}$, который соединяет их концы (направлен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого). Таким образом, $\vec{MB} - \vec{MD} = \vec{DB}$.

Подставим полученное выражение в исходное: $\vec{c} = \vec{DB} - \vec{DA}$.

Применим правило вычитания векторов еще раз для векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DA}$, которые также исходят из одной точки $D$. Их разность равна вектору $\vec{AB}$. $\vec{DB} - \vec{DA} = \vec{AB}$. Это также можно проверить по правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$, из чего следует, что $\vec{AB} = \vec{DB} - \vec{DA}$.

В результате упрощения мы получили, что $\vec{c} = \vec{AB}$.

Модуль вектора $\vec{c}$ равен его длине, то есть длине вектора $\vec{AB}$. Длина вектора $\vec{AB}$ совпадает с длиной стороны $AB$ прямоугольника $ABCD$. $|\vec{c}| = |\vec{AB}| = AB$.

Теперь найдем длину стороны $AB$. Основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$, поэтому $AB = CD$ и все углы прямые, в частности $\angle D = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. По условию, гипотенуза $AC = 16$ см, а угол $\angle CAD = 30^\circ$.

Катет $CD$ лежит напротив угла $\angle CAD$. Длину этого катета можно найти через синус угла: $CD = AC \cdot \sin(\angle CAD)$.

Подставим известные значения: $CD = 16 \cdot \sin(30^\circ)$.

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, вычисляем: $CD = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.

Так как в прямоугольнике противолежащие стороны равны, $AB = CD = 8$ см. Следовательно, модуль искомого вектора равен: $|\vec{c}| = AB = 8$ см.

Ответ: 8 см.

50. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{A_1C_1}$ через векторы $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$ и $\vec{AB_1}$.

50. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Выразите вектор $\vec{A_1 C_1}$ через векторы $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$ и $\vec{AB_1}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{A_1C_1}$ через заданные векторы, воспользуемся правилом сложения векторов и свойствами параллелепипеда.

1. Вектор $\vec{A_1C_1}$ является диагональю верхнего основания параллелепипеда — параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$. По правилу параллелограмма для векторов, исходящих из одной вершины, можем записать:

$\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1}$

2. Теперь выразим векторы $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{A_1D_1}$ через векторы, связанные с нижним основанием. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то его противоположные грани параллельны и равны. Это означает, что:

$\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$

$\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$

Подставим эти равенства в наше первое выражение:

$\vec{A_1C_1} = \vec{AB} + \vec{AD}$

3. Вектор $\vec{AD}$ является одним из векторов, через которые нужно выразить искомый вектор. Однако вектор $\vec{AB}$ не входит в их число. Нам нужно выразить $\vec{AB}$ через заданные векторы $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$ и $\vec{AB_1}$.

Рассмотрим вектор $\vec{AB_1}$. Он является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. По правилу сложения векторов (для треугольника $ABB_1$ или параллелограмма $ABB_1A_1$) имеем:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Поскольку $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$ (как векторы, соответствующие боковым ребрам параллелепипеда), то:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$

Из этого соотношения выразим искомый вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \vec{AB_1} - \vec{AA_1}$

4. Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{AB}$ в формулу для $\vec{A_1C_1}$:

$\vec{A_1C_1} = (\vec{AB_1} - \vec{AA_1}) + \vec{AD}$

Таким образом, мы выразили вектор $\vec{A_1C_1}$ через заданные векторы.

Ответ: $\vec{A_1C_1} = \vec{AD} - \vec{AA_1} + \vec{AB_1}$