Страница 74 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

316. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$,
$AC = 12 \text{ см}$, $\angle ABC = 120^\circ$. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $C$ и перпендикулярна прямой $AC$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

316. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 12$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $C$ и перпендикулярна прямой $AC$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

Для нахождения объёма тела вращения, образованного вращением треугольника $ABC$ вокруг прямой $m$, воспользуемся второй теоремой Паппа-Гюльдена. Согласно этой теореме, объём тела вращения $V$ равен произведению площади вращаемой фигуры $A$ на длину окружности $L$, которую описывает центр масс (центроид) этой фигуры при вращении. Формула имеет вид: $V = A \cdot L = A \cdot 2\pi d$, где $d$ — расстояние от центроида до оси вращения.

Сначала определим все параметры треугольника $ABC$. По условию, $AB = BC$, $AC = 12$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Треугольник $ABC$ является равнобедренным. Углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Найдём длину боковых сторон $AB$ и $BC$ с помощью теоремы синусов: $\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$ $BC = \frac{AC \cdot \sin(\angle BAC)}{\sin(\angle ABC)} = \frac{12 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} = \frac{12 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $A$ по формуле: $A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$ $A = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.

Далее найдем расстояние $d$ от центроида треугольника до оси вращения $m$. Для этого введем декартову систему координат. Пусть точка $C$ совпадает с началом координат $(0, 0)$. Прямая $m$ проходит через $C$ и перпендикулярна $AC$, поэтому примем прямую $m$ за ось $Oy$. Тогда прямая $AC$ будет лежать на оси $Ox$. В этой системе координат вершины треугольника имеют следующие координаты: $C(0, 0)$, $A(12, 0)$. Координаты вершины $B$ можно найти, зная длину отрезка $BC = 4\sqrt{3}$ и угол $\angle BCA = 30^\circ$, который он образует с осью $Ox$: $x_B = BC \cdot \cos(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$ и $y_B = BC \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$. Таким образом, $B(6, 2\sqrt{3})$.

Координаты центроида треугольника $(x_M, y_M)$ находятся как среднее арифметическое координат его вершин: $x_M = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{12 + 6 + 0}{3} = 6$ $y_M = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{0 + 2\sqrt{3} + 0}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Расстояние $d$ от центроида до оси вращения $m$ (оси $Oy$) равно модулю его абсциссы: $d = |x_M| = 6$ см.

Наконец, вычисляем объём тела вращения по формуле Паппа-Гюльдена: $V = 2\pi d A = 2\pi \cdot 6 \cdot 12\sqrt{3} = 144\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $144\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

317. Основание равнобедренного треугольника равно $b$, а угол при вершине равен $2\beta$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $c$ от него (рис. 20). Найдите объём тела вращения.

317. Основание равнобедренного треугольника равно $b$, а угол при вершине равен $2\beta$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $c$ от него (рис. 20). Найдите объём тела вращения.

Рис. 20

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина. Согласно этой теореме, объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг внешней оси, равен произведению площади этой фигуры $A$ на длину окружности $L$, которую описывает ее центр масс (центроид). Формула для объема: $V = A \cdot L = A \cdot 2\pi r$, где $r$ — расстояние от центра масс фигуры до оси вращения.

1. Нахождение геометрических характеристик треугольника

Дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = b$, а угол при вершине $\angle B = 2\beta$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Следовательно, точка $H$ — середина основания $AC$, поэтому $HC = \frac{b}{2}$. Угол при вершине делится пополам, поэтому $\angle CBH = \beta$.

Из прямоугольного треугольника $BHC$ найдем высоту $h = BH$:

$\mathrm{tg}(\beta) = \frac{HC}{BH} = \frac{b/2}{h}$

Отсюда, $h = \frac{b}{2\mathrm{tg}(\beta)} = \frac{b}{2}\mathrm{ctg}(\beta)$.

Теперь найдем площадь треугольника $A$:

$A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \left(\frac{b}{2}\mathrm{ctg}(\beta)\right) = \frac{b^2}{4}\mathrm{ctg}(\beta)$.

2. Нахождение центра масс и вычисление объема

Центр масс треугольника лежит на пересечении его медиан. В данном случае он находится на высоте $BH$ на расстоянии $\frac{1}{3}$ высоты от основания $AC$. Расстояние от центра масс до основания $AC$ равно:

$d_{G} = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{b}{2}\mathrm{ctg}(\beta) = \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)$.

Ось вращения $m$ параллельна основанию $AC$ и находится на расстоянии $c$ от него. Так как в условии не указано, с какой стороны от основания находится ось, рассмотрим два возможных случая (предполагая, что ось не пересекает треугольник).

Случай 1: Ось вращения $m$ и вершина $B$ находятся по одну сторону от основания $AC$.

Этот случай изображен на рисунке к задаче. Для применимости теоремы Паппа-Гульдина необходимо, чтобы ось вращения не пересекала треугольник, то есть $c > h$. Расстояние $r_1$ от центра масс до оси вращения $m$ равно разности расстояний от оси до основания и от центра масс до основания:

$r_1 = c - d_{G} = c - \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)$.

Объем тела вращения $V_1$ в этом случае:

$V_1 = 2\pi r_1 A = 2\pi \left(c - \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)\right) \left(\frac{b^2}{4}\mathrm{ctg}(\beta)\right) = \frac{\pi b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta)\left(c - \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)\right)$.

Раскрыв скобки, получаем:

$V_1 = \frac{\pi c b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta) - \frac{\pi b^3}{12}\mathrm{ctg}^2(\beta)$.

Случай 2: Ось вращения $m$ и вершина $B$ находятся по разные стороны от основания $AC$.

В этом случае ось вращения не пересекает треугольник при любом $c > 0$. Расстояние $r_2$ от центра масс до оси вращения $m$ равно сумме расстояний от оси до основания и от центра масс до основания:

$r_2 = c + d_{G} = c + \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)$.

Объем тела вращения $V_2$ в этом случае:

$V_2 = 2\pi r_2 A = 2\pi \left(c + \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)\right) \left(\frac{b^2}{4}\mathrm{ctg}(\beta)\right) = \frac{\pi b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta)\left(c + \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)\right)$.

Раскрыв скобки, получаем:

$V_2 = \frac{\pi c b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta) + \frac{\pi b^3}{12}\mathrm{ctg}^2(\beta)$.

Поскольку в условии задачи приведен рисунок, соответствующий первому случаю, он является наиболее вероятным ответом.

Ответ: Объем тела вращения зависит от расположения оси $m$ относительно треугольника.
1. Если ось вращения и вершина $B$ находятся по одну сторону от основания (как на рисунке, при условии $c > \frac{b}{2}\mathrm{ctg}(\beta)$), то объем равен $V = \frac{\pi c b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta) - \frac{\pi b^3}{12}\mathrm{ctg}^2(\beta)$.
2. Если ось вращения и вершина $B$ находятся по разные стороны от основания, то объем равен $V = \frac{\pi c b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta) + \frac{\pi b^3}{12}\mathrm{ctg}^2(\beta)$.

318. Радиус шара равен 4 см. Найдите его объём.

318. Радиус шара равен 4 см. Найдите его объём.

Для нахождения объёма шара используется формула:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $V$ – объём, а $R$ – радиус шара.
По условию задачи, радиус шара $R = 4$ см.
Подставим значение радиуса в формулу и произведем вычисления:
$V = \frac{4}{3}\pi \cdot (4 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 \text{ см}^3 = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.
Ответ: $\frac{256}{3}\pi$ см$^3$.

319. Объёмы двух шаров относятся как 8 : 27. Найдите отношение их радиусов.

319. Объёмы двух шаров относятся как $8:27$. Найдите отношение их радиусов.

Пусть $V_1$ и $V_2$ — объёмы двух шаров, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Согласно условию, отношение объёмов шаров составляет $8 : 27$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{27}$
Подставим в это соотношение формулу объёма для каждого шара:
$\frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{8}{27}$
Сократим общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ в числителе и знаменателе:
$\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{8}{27}$
Это равенство можно переписать в виде:
$(\frac{r_1}{r_2})^3 = \frac{8}{27}$
Чтобы найти отношение радиусов $\frac{r_1}{r_2}$, необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения:
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$
Следовательно, отношение радиусов двух шаров равно $2 : 3$.

Ответ: 2 : 3

320. Во сколько раз надо увеличить радиус шара, чтобы его объём увеличился в 3 раза?

320. Во сколько раз надо увеличить радиус шара, чтобы его объём увеличился в 3 раза?

Обозначим первоначальный радиус шара как $R_1$, а его объём как $V_1$. Формула объёма шара выглядит следующим образом:
$V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$

Пусть новый радиус шара будет $R_2$, а новый объём — $V_2$. По условию задачи, объём увеличился в 3 раза, следовательно:
$V_2 = 3 \cdot V_1$

Объём нового шара выражается через его радиус $R_2$:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3$

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для $V_2$:
$\frac{4}{3}\pi R_2^3 = 3 \cdot V_1$

Подставим в это уравнение формулу для $V_1$:
$\frac{4}{3}\pi R_2^3 = 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi R_1^3\right)$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{4}{3}\pi$:
$R_2^3 = 3 \cdot R_1^3$

Чтобы найти, во сколько раз нужно увеличить радиус, нам нужно найти отношение $\frac{R_2}{R_1}$. Для этого разделим обе части уравнения на $R_1^3$:
$\frac{R_2^3}{R_1^3} = 3$
$\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3 = 3$

Теперь извлечём кубический корень из обеих частей равенства:
$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt[3]{3}$

Это означает, что новый радиус $R_2$ в $\sqrt[3]{3}$ раз больше старого радиуса $R_1$.
Ответ: в $\sqrt[3]{3}$ раз.

321. Масса бетонного шара равна 0,8 т. Сколько тонн составит масса шара вдвое меньшего радиуса, изготовленного из такого же бетона?

321. Масса бетонного шара равна 0,8 т. Сколько тонн составит масса шара вдвое меньшего радиуса, изготовленного из такого же бетона?

Масса тела ($m$) прямо пропорциональна его объему ($V$) и плотности материала ($\rho$): $m = \rho \cdot V$. Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же бетона, их плотности одинаковы. Следовательно, масса шара прямо пропорциональна его объему.

Объем шара ($V$) вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ – радиус шара. Таким образом, масса шара пропорциональна кубу его радиуса: $m \sim R^3$.

Обозначим массу и радиус первого шара как $m_1$ и $R_1$, а второго шара – как $m_2$ и $R_2$. По условию, $m_1 = 0,8$ т, а радиус второго шара вдвое меньше первого: $R_2 = \frac{1}{2}R_1$.

Найдем отношение масс двух шаров:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_2^3}{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_1^3} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = (\frac{R_2}{R_1})^3$

Подставим известное соотношение радиусов:

$\frac{m_2}{m_1} = (\frac{\frac{1}{2}R_1}{R_1})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Это означает, что масса второго шара в 8 раз меньше массы первого. Вычислим массу второго шара:

$m_2 = \frac{1}{8} m_1 = \frac{1}{8} \cdot 0,8 \text{ т} = 0,1 \text{ т}$.

Ответ: 0,1 т.

322. Два шара имеют общий центр. Найдите радиус большего шара, если радиус меньшего шара равен 3 см, а объём тела, содержащегося между поверхностями этих шаров, равен $252\pi \text{ см}^3$.

322. Два шара имеют общий центр. Найдите радиус большего шара, если радиус меньшего шара равен 3 см, а объём тела, содержащегося между поверхностями этих шаров, равен $252\pi \text{ см}^3$.

Пусть $R$ — радиус большего шара, а $r$ — радиус меньшего шара. По условию задачи, $r = 3$ см. Два шара имеют общий центр, следовательно, они концентрические.

Объём тела, заключённого между поверхностями этих шаров, представляет собой объём шарового слоя. Этот объём равен разности объёмов большего и меньшего шаров.

Формула для вычисления объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Объём большего шара: $V_R = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Объём меньшего шара: $V_r = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Объём тела между поверхностями шаров ($V_{тела}$) равен:

$V_{тела} = V_R - V_r = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)$.

Согласно условию, $V_{тела} = 252\pi$ см³ и $r = 3$ см. Подставим эти значения в формулу:

$252\pi = \frac{4}{3}\pi (R^3 - 3^3)$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$252 = \frac{4}{3} (R^3 - 27)$

Умножим обе части на $\frac{3}{4}$, чтобы выразить скобку $(R^3 - 27)$:

$R^3 - 27 = 252 \cdot \frac{3}{4}$

$R^3 - 27 = 63 \cdot 3$

$R^3 - 27 = 189$

Теперь найдём $R^3$:

$R^3 = 189 + 27$

$R^3 = 216$

Чтобы найти радиус $R$, извлечём кубический корень из 216:

$R = \sqrt[3]{216} = 6$

Таким образом, радиус большего шара равен 6 см.

Ответ: 6 см.

323. На расстоянии 9 см от центра шара проведено сечение, площадь которого равна $144\pi \text{ см}^2$. Найдите объём шара.

323. На расстоянии 9 см от центра шара проведено сечение, площадь которого равна $144\pi$ см². Найдите объём шара.

Пусть $R$ — радиус шара, $d$ — расстояние от центра шара до плоскости сечения, $r$ — радиус сечения.

По условию задачи дано:
Расстояние от центра до сечения $d = 9$ см.
Площадь сечения $S_{сеч} = 144\pi$ см².

Сечение шара плоскостью является кругом. Площадь этого круга вычисляется по формуле $S_{сеч} = \pi r^2$. Используя данные из условия, найдем радиус сечения $r$:
$\pi r^2 = 144\pi$
$r^2 = \frac{144\pi}{\pi} = 144$
$r = \sqrt{144} = 12$ см.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $d$ — катеты. По теореме Пифагора:
$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения $d = 9$ см и $r = 12$ см, чтобы найти радиус шара $R$:
$R^2 = 9^2 + 12^2$
$R^2 = 81 + 144$
$R^2 = 225$
$R = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь, зная радиус шара, можем вычислить его объём $V$ по формуле:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим значение $R=15$ см в формулу объёма:
$V = \frac{4}{3}\pi (15)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3375 = 4\pi \cdot \frac{3375}{3} = 4\pi \cdot 1125 = 4500\pi$ см³.

Ответ: $4500\pi$ см³.

324. Объём правильной треугольной призмы равен $V$. Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

324. Объём правильной треугольной призмы равен $V$. Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

Пусть $V$ – объём правильной треугольной призмы, а $V_{шара}$ – объём вписанного в неё шара. Обозначим сторону основания призмы как $a$, высоту призмы как $H$, а радиус вписанного шара как $R$.

По определению, правильная треугольная призма имеет в основании равносторонний треугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

Шар, вписанный в призму, касается обоих оснований и всех боковых граней. Это означает, что:

1. Высота призмы $H$ равна диаметру шара, то есть $H = 2R$.
2. Окружность большого круга шара, параллельного основаниям, вписана в равносторонний треугольник, являющийся основанием призмы. Следовательно, радиус шара $R$ равен радиусу окружности, вписанной в основание.

Радиус $R$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Из этой формулы выразим сторону основания $a$ через радиус шара $R$:

$a = 2\sqrt{3}R$

Объём призмы $V$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $H$:

$V = S_{осн} \cdot H$

Площадь равностороннего треугольника сo стороной $a$ равна:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим выражение для $a$ в формулу площади основания:

$S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3}R)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot R^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12R^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}R^2$

Теперь найдём объём призмы $V$, подставив выражения для $S_{осн}$ и $H = 2R$:

$V = S_{осн} \cdot H = (3\sqrt{3}R^2) \cdot (2R) = 6\sqrt{3}R^3$

Из полученного соотношения выразим $R^3$ через $V$:

$R^3 = \frac{V}{6\sqrt{3}}$

Объём шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим в эту формулу найденное выражение для $R^3$:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{V}{6\sqrt{3}} \right) = \frac{4\pi V}{18\sqrt{3}} = \frac{2\pi V}{9\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$V_{шара} = \frac{2\pi V \cdot \sqrt{3}}{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\pi\sqrt{3}V}{9 \cdot 3} = \frac{2\pi\sqrt{3}V}{27}$

Ответ: $V_{шара} = \frac{2\pi\sqrt{3}V}{27}$

325. Основанием прямой призмы является прямоугольник, стороны которого равны 4 см и $\sqrt{2}$ см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{23}}{3}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

325. Основанием прямой призмы является прямоугольник, стороны которого равны 4 см и $\sqrt{2}$ см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{23}}{3}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

Пусть стороны основания прямой призмы (прямоугольника) равны $a = 4$ см и $b = \sqrt{2}$ см.

Сначала найдем диагональ основания $d$. Так как основанием является прямоугольник, по теореме Пифагора получаем:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Диагональ призмы $D$, ее проекция на плоскость основания (которая является диагональю основания $d$) и высота призмы $h$ образуют прямоугольный треугольник. Угол $\alpha$, который диагональ призмы образует с плоскостью основания, является углом между катетом $d$ и гипотенузой $D$. Тангенс этого угла определяется как отношение противолежащего катета $h$ к прилежащему катету $d$:
$\tan(\alpha) = \frac{h}{d}$.

Из условия известно, что $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{23}}{3}$. Используя это соотношение, найдем высоту призмы $h$:
$h = d \cdot \tan(\alpha) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{23}}{3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{23} = \sqrt{46}$ см.

Теперь найдем длину диагонали призмы $D$, используя теорему Пифагора для того же прямоугольного треугольника:
$D^2 = d^2 + h^2 = (3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{46})^2 = 18 + 46 = 64$.
$D = \sqrt{64} = 8$ см.

Диаметр шара, описанного около прямой призмы с прямоугольным основанием (то есть около прямоугольного параллелепипеда), равен диагонали этого параллелепипеда. Таким образом, радиус описанного шара $R$ равен половине диагонали призмы $D$:
$R = \frac{D}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Наконец, вычислим объем шара $V$ по формуле:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Подставив найденное значение радиуса, получаем:
$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{256\pi}{3}$ см³.