Страница 68 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

261. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания.

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Сторона основания $a = 6$ см. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Подставим значение стороны:$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

2. Найдём высоту пирамиды.

Пусть $SABC$ — данная правильная треугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Двугранный угол при боковом ребре, например $SA$, равен $120^\circ$. Этот угол является углом между плоскостями боковых граней $(SAB)$ и $(SAC)$.

Для нахождения линейного угла этого двугранного угла проведём в гранях $(SAB)$ и $(SAC)$ перпендикуляры к общему ребру $SA$. Проведём высоту $BK$ в треугольнике $SAB$ к стороне $SA$ (т.е. $BK \perp SA$). Так как пирамида правильная, её боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Следовательно, высота $CK$ в треугольнике $SAC$ к стороне $SA$ также будет опущена в ту же точку $K$ (т.е. $CK \perp SA$).

Таким образом, угол $\angle BKC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $SA$, и по условию $\angle BKC = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BKC$. Он равнобедренный, так как $BK = CK$ (высоты в равных треугольниках). Основание этого треугольника $BC = a = 6$ см.

По теореме косинусов для треугольника $BKC$:$BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos(\angle BKC)$
Пусть $BK = CK = x$.
$6^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos(120^\circ)$
$36 = 2x^2 - 2x^2 \cdot (-\frac{1}{2})$
$36 = 2x^2 + x^2$
$36 = 3x^2$
$x^2 = 12$
$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.
Итак, $BK = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим боковую грань — треугольник $SAB$. Это равнобедренный треугольник с основанием $AB = 6$. Мы нашли длину высоты $BK = 2\sqrt{3}$, опущенной на боковую сторону $SA$. Пусть боковое ребро $SA = l$.
В прямоугольном треугольнике $AKB$ (где $K$ — основание высоты $BK$ на $SA$), по теореме Пифагора $AB^2 = AK^2 + BK^2$.
$6^2 = AK^2 + (2\sqrt{3})^2$
$36 = AK^2 + 12$
$AK = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ см.
В треугольнике $SAB$ $\cos(\angle SAB) = \frac{AK}{AB} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Пусть $M$ — середина $AB$. В прямоугольном треугольнике $SAM$ катет $AM = \frac{AB}{2} = 3$.
$\cos(\angle SAB) = \frac{AM}{SA} = \frac{3}{l}$.
Приравнивая два выражения для косинуса, получаем:
$\frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{3}{l}$
$l = \frac{9}{\sqrt{6}} = \frac{9\sqrt{6}}{6} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$ см.
Квадрат бокового ребра: $l^2 = (\frac{3\sqrt{6}}{2})^2 = \frac{9 \cdot 6}{4} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2}$.

Найдём высоту пирамиды $H = SO$, где $O$ — центр основания $ABC$. $AO$ — это радиус $R$ описанной около основания окружности. Для равностороннего треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$R = AO = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Катеты — $SO=H$ и $AO=R$, гипотенуза — $SA=l$.
По теореме Пифагора: $SA^2 = SO^2 + AO^2$, то есть $l^2 = H^2 + R^2$.
$H^2 = l^2 - R^2$
$H^2 = \frac{27}{2} - (2\sqrt{3})^2 = \frac{27}{2} - 12 = \frac{27 - 24}{2} = \frac{3}{2}$
$H = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

3. Вычислим объём пирамиды.

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}$
$V = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{18}}{2} = \frac{3\sqrt{9 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \cdot 3\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см³.

Ответ: $V = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см³.

262. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $a$, а угол между апофемами двух боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

262. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $a$, а угол между апофемами двух боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, в основании которой лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Вершина пирамиды $S$ проецируется в центр основания $O$. Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$, его площадь равна: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Далее найдём высоту пирамиды $H$. Для этого сначала определим длину апофемы (высоты боковой грани). Пусть $SK$ и $SM$ – апофемы боковых граней $SAB$ и $SBC$, проведённые из вершины $S$ к сторонам основания $AB$ и $BC$ соответственно. По условию, угол между этими апофемами равен $\alpha$, то есть $\angle KSM = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $KSM$. Поскольку пирамида правильная, все её боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками, а значит, их апофемы равны: $SK = SM$. Следовательно, треугольник $KSM$ – равнобедренный. Точки $K$ и $M$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$. Отрезок $KM$ – средняя линия треугольника $ABC$, поэтому его длина равна половине длины стороны $AC$: $KM = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$.

В равнобедренном треугольнике $KSM$ воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти длину апофемы $l = SK = SM$: $KM^2 = SK^2 + SM^2 - 2 \cdot SK \cdot SM \cdot \cos(\alpha)$ $(\frac{a}{2})^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos(\alpha)$ $\frac{a^2}{4} = 2l^2(1 - \cos(\alpha))$ Применив формулу понижения степени $1 - \cos(\alpha) = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получим: $\frac{a^2}{4} = 2l^2 \cdot 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4l^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$ Отсюда выражаем длину апофемы $l$: $l = \frac{a}{4 \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды $H = SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ (где $O$ - центр основания, $SO \perp ABC$). Гипотенуза этого треугольника – апофема $SK = l$, а катеты – высота пирамиды $SO=H$ и отрезок $OK$. Отрезок $OK$ является радиусом окружности, вписанной в треугольник основания. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен: $OK = r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

По теореме Пифагора в треугольнике $SOK$: $H^2 = SK^2 - OK^2 = l^2 - r^2$ $H^2 = \left(\frac{a}{4 \sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \frac{a^2}{16 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{3a^2}{36} = \frac{a^2}{16 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{a^2}{12}$ Приведём дроби к общему знаменателю: $H^2 = a^2 \left( \frac{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{48 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} \right)$ Следовательно, высота равна: $H = \frac{a \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{ \sqrt{48} \sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{4\sqrt{3} \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Наконец, подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{4\sqrt{3} \sin(\frac{\alpha}{2})}$ $V = \frac{a^3 \sqrt{3} \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{12 \cdot 4\sqrt{3} \sin(\frac{\alpha}{2})}$ Сократив $\sqrt{3}$, получаем окончательное выражение для объёма: $V = \frac{a^3 \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{48 \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $V = \frac{a^3 \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{48 \sin(\frac{\alpha}{2})}$

263. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна $S$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $d$. Найдите объём пирамиды.

263. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна $S$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $d$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ можно найти, представив его как сумму объёмов шести меньших пирамид.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида. Обозначим центр её основания как точку $O$. Если соединить точку $O$ со всеми вершинами боковых граней, то исходная пирамида разобьётся на 6 одинаковых малых пирамид. Основанием каждой такой малой пирамиды будет боковая грань исходной пирамиды, а общей вершиной для всех малых пирамид будет точка $O$.

Рассмотрим одну из этих малых пирамид. Её основание — это боковая грань большой пирамиды, площадь которой по условию равна $S$. Высота этой малой пирамиды, проведённая из вершины $O$ к её основанию, — это в точности расстояние от центра основания до боковой грани, которое по условию равно $d$.

Объём одной малой пирамиды ($V_{малой}$) вычисляется по формуле:$V_{малой} = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h_{высота} = \frac{1}{3} S d$

Так как вся большая пирамида состоит из шести таких одинаковых малых пирамид, её объём $V$ равен сумме их объёмов:$V = 6 \cdot V_{малой} = 6 \cdot \left(\frac{1}{3} S d\right) = 2 S d$

Ответ: $V = 2Sd$

264. В параллелепипеде $ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ проведено сечение через прямую $BD$ и точку $A_1$ (рис. 18). Найдите объём параллелепипеда, если объём пирамиды $A_1ABD$ равен $V$.

Рис. 18

264. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведено сечение через прямую $BD$ и точку $A_1$ (рис. 18). Найдите объём параллелепипеда, если объём пирамиды $A_1ABD$ равен $V$.

Рис. 18

Пусть объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $V_{пар}$. Объём параллелепипеда находится по формуле: $V_{пар} = S_{ABCD} \cdot H$, где $S_{ABCD}$ — площадь основания (параллелограмма $ABCD$), а $H$ — высота параллелепипеда.

По условию, объём пирамиды $A_1ABD$ равен $V$. Объём пирамиды находится по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot h$, где $S_{ABD}$ — площадь основания пирамиды (треугольника $ABD$), а $h$ — высота пирамиды, опущенная из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$.

Высота пирамиды $h$ совпадает с высотой параллелепипеда $H$, так как её вершина $A_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, а её основание $ABD$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$. Таким образом, $h = H$.

Основание параллелепипеда $ABCD$ является параллелограммом. Диагональ $BD$ делит этот параллелограмм на два равных по площади треугольника, $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. Отсюда следует, что площадь основания параллелепипеда в два раза больше площади основания пирамиды: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABD}$.

Теперь установим связь между объёмом параллелепипеда и объёмом пирамиды. Выразим объём параллелепипеда через площадь $S_{ABD}$ и высоту $H$: $V_{пар} = S_{ABCD} \cdot H = (2 \cdot S_{ABD}) \cdot H = 2 \cdot (S_{ABD} \cdot H)$.

Из формулы для объёма пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot H$ выразим произведение $S_{ABD} \cdot H$: $S_{ABD} \cdot H = 3V$.

Подставим полученное выражение в формулу для объёма параллелепипеда: $V_{пар} = 2 \cdot (3V) = 6V$.

Ответ: $6V$.

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см и углом 120°. Каждое боковое ребро пирамиды равно 17 см. Найдите объём пирамиды.

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см и углом 120°. Каждое боковое ребро пирамиды равно 17 см. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота. Решение задачи можно разбить на несколько этапов.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a = 8$ см и углом между ними $\gamma = 120^\circ$. Площадь треугольника находим по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a^2 \sin(\gamma)$

Подставляем известные значения:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение высоты пирамиды

По условию, все боковые ребра пирамиды равны ($l = 17$ см). Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Радиус этой окружности $R$, высота пирамиды $H$ и боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Таким образом, по теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = l^2$.

Чтобы найти высоту $H$, сначала необходимо вычислить радиус $R$. Для этого найдем длину третьей стороны основания ($c$) по теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\gamma) = 2a^2(1 - \cos(\gamma))$

$c^2 = 2 \cdot 8^2 \cdot (1 - \cos(120^\circ)) = 2 \cdot 64 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})) = 128 \cdot \frac{3}{2} = 192$

$c = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Радиус описанной окружности можно найти по формуле $R = \frac{c}{2\sin(\gamma)}$ (следствие из теоремы синусов):

$R = \frac{8\sqrt{3}}{2\sin(120^\circ)} = \frac{8\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$ см.

Теперь находим высоту пирамиды $H$ из соотношения $H = \sqrt{l^2 - R^2}$:

$H = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = 3 \cdot 5 = 15$ см.

3. Вычисление объема пирамиды

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычисляем объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 15 = 16\sqrt{3} \cdot 5 = 80\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $80\sqrt{3}$ см³.

266. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна $a$ и образует с его диагональю угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

266. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна $a$ и образует с его диагональю угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Основание пирамиды — прямоугольник. Пусть одна его сторона равна $a$, а смежная ей сторона — $b$. Диагональ прямоугольника $d$ образует со стороной $a$ угол $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$, имеем: $\tan(\alpha) = \frac{b}{a}$. Отсюда вторая сторона прямоугольника $b = a \tan(\alpha)$.

Площадь основания $S_{осн}$ равна произведению сторон прямоугольника:

$S_{осн} = a \cdot b = a \cdot (a \tan(\alpha)) = a^2 \tan(\alpha)$.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$. По условию, каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей, обозначим её O. Пусть S — вершина пирамиды, тогда её высота $H = SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной диагонали основания. Угол между боковым ребром и его проекцией на основание (половиной диагонали) равен $\beta$. Длина половины диагонали равна радиусу описанной окружности $R$. Тогда $H = R \tan(\beta)$.

Найдём радиус описанной окружности $R$, который равен половине диагонали $d$. Из того же прямоугольного треугольника в основании: $\cos(\alpha) = \frac{a}{d}$, откуда $d = \frac{a}{\cos(\alpha)}$.

Следовательно, $R = \frac{d}{2} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$.

Теперь можем найти высоту пирамиды:

$H = R \tan(\beta) = \frac{a}{2\cos(\alpha)} \cdot \tan(\beta) = \frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)}$.

Наконец, вычислим объём пирамиды, подставив найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} (a^2 \tan(\alpha)) \left( \frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)} \right) = \frac{a^3 \tan(\alpha) \tan(\beta)}{6\cos(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{a^3 \tan(\alpha) \tan(\beta)}{6\cos(\alpha)}$

267. Основанием пирамиды является треугольник, две стороны которого равны $8 \text{ см}$ и $3 \text{ см}$, а угол между ними — $60^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём пирамиды.

267. Основанием пирамиды является треугольник, две стороны которого равны 8 см и 3 см, а угол между ними — $60^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a = 8$ см, $b = 3$ см и углом между ними $\gamma = 60^{\circ}$. Площадь такого треугольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

Подставим известные значения:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².

Нахождение высоты пирамиды ($H$)

Так как все двугранные углы при ребрах основания равны ($ \alpha = 30^{\circ} $), вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$ связаны соотношением:

$H = r \cdot \tan(\alpha)$

Для нахождения радиуса $r$ воспользуемся формулой $r = \frac{S_{осн}}{p}$, где $p$ — полупериметр треугольника основания. Сначала найдем третью сторону основания $c$ по теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

$c^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos(60^{\circ}) = 64 + 9 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49$

$c = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+3+7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{6\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = r \cdot \tan(30^{\circ}) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$ см.

Нахождение объема пирамиды ($V$)

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12\sqrt{3}}{9} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см³.

268. Основанием пирамиды является ромб с углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите объём пирамиды, если её высота равна $H$.

268. Основанием пирамиды является ромб с углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\phi$. Найдите объём пирамиды, если её высота равна $H$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является ромб с углом $\alpha$. Поскольку все двугранные углы при ребрах основания равны $\phi$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Для ромба центром вписанной окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим радиус этой окружности как $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани (высотой боковой грани, проведенной из вершины пирамиды к стороне основания). Катетами этого треугольника являются $H$ и $r$. Угол между апофемой и радиусом $r$ (проекцией апофемы на основание) является линейным углом двугранного угла при ребре основания и равен $\phi$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике можем выразить радиус $r$:

$\cot(\phi) = \frac{r}{H}$

Отсюда находим радиус вписанной окружности:

$r = H \cot(\phi)$

Далее найдем площадь основания. Высота ромба $h_{ромба}$ связана с радиусом вписанной в него окружности соотношением $h_{ромба} = 2r$.

Следовательно, $h_{ромба} = 2H \cot(\phi)$.

С другой стороны, высоту ромба можно выразить через его сторону $a$ и угол $\alpha$: $h_{ромба} = a \sin(\alpha)$.

Приравнивая два выражения для высоты ромба, найдем его сторону $a$:

$a \sin(\alpha) = 2H \cot(\phi)$

$a = \frac{2H \cot(\phi)}{\sin(\alpha)}$

Площадь ромба $S_{осн}$ вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$. Подставим найденное выражение для стороны $a$:

$S_{осн} = \left(\frac{2H \cot(\phi)}{\sin(\alpha)}\right)^2 \sin(\alpha) = \frac{4H^2 \cot^2(\phi)}{\sin^2(\alpha)} \sin(\alpha) = \frac{4H^2 \cot^2(\phi)}{\sin(\alpha)}$

Теперь, зная площадь основания и высоту пирамиды, можем найти ее объем:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{4H^2 \cot^2(\phi)}{\sin(\alpha)} \cdot H = \frac{4H^3 \cot^2(\phi)}{3\sin(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{4H^3 \cot^2(\phi)}{3\sin(\alpha)}$

269. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция. Точка касания окружности, вписанной в эту трапецию, и её боковой стороны делит эту сторону на отрезки длиной 4 см и 9 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

269. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция. Точка касания окружности, вписанной в эту трапецию, и её боковой стороны делит эту сторону на отрезки длиной 4 см и 9 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$,

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания (равнобокой трапеции).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. Боковая сторона $AB = CD$. Точка касания $K$ делит боковую сторону $AB$ на отрезки $AK = 9$ см и $KB = 4$ см. Тогда длина боковой стороны равна:

$c = AB = AK + KB = 9 + 4 = 13$ см.

Так как в трапецию вписана окружность, суммы ее противолежащих сторон равны. Обозначим основания как $a$ и $b$:

$a + b = c + c = 13 + 13 = 26$ см.

Высоту трапеции $h_{тр}$ можно найти, проведя высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$ равен полуразности оснований:

$AH = \frac{a-b}{2}$.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки от вершины до точек касания равны. Поэтому половина меньшего основания равна отрезку, прилежащему к нему (4 см), а половина большего основания — другому отрезку (9 см).

Меньшее основание: $b = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Большее основание: $a = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Проверим: $a+b = 18+8=26$ см. Верно.

Теперь найдем катет $AH$:

$AH = \frac{18-8}{2} = 5$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $ABH$ найдем высоту трапеции $h_{тр} = BH$:

$h_{тр} = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания (трапеции):

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр} = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156$ $см^2$.

2. Найдем высоту пирамиды.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $45^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $S$ — вершина пирамиды. Тогда $SO = H$ — высота пирамиды.

Радиус вписанной в трапецию окружности $r$ равен половине высоты трапеции:

$r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H=SO$, радиусом вписанной окружности $r$ (проведенным к точке касания, например, к стороне $BC$), и апофемой боковой грани (высотой боковой грани, проведенной из вершины $S$). Угол между апофемой и радиусом $r$ является линейным углом двугранного угла при основании и равен $45^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике катеты — это высота пирамиды $H$ и радиус $r$. Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то треугольник равнобедренный, и его катеты равны:

$H = r = 6$ см.

3. Найдем объем пирамиды.

Теперь у нас есть все данные для вычисления объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 156 \cdot 6 = 156 \cdot 2 = 312$ $см^3$.

Ответ: 312 $см^3$.