Номер 262, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $a$, а угол между апофемами двух боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

262. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $a$, а угол между апофемами двух боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, в основании которой лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Вершина пирамиды $S$ проецируется в центр основания $O$. Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$, его площадь равна: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Далее найдём высоту пирамиды $H$. Для этого сначала определим длину апофемы (высоты боковой грани). Пусть $SK$ и $SM$ – апофемы боковых граней $SAB$ и $SBC$, проведённые из вершины $S$ к сторонам основания $AB$ и $BC$ соответственно. По условию, угол между этими апофемами равен $\alpha$, то есть $\angle KSM = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $KSM$. Поскольку пирамида правильная, все её боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками, а значит, их апофемы равны: $SK = SM$. Следовательно, треугольник $KSM$ – равнобедренный. Точки $K$ и $M$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$. Отрезок $KM$ – средняя линия треугольника $ABC$, поэтому его длина равна половине длины стороны $AC$: $KM = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$.

В равнобедренном треугольнике $KSM$ воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти длину апофемы $l = SK = SM$: $KM^2 = SK^2 + SM^2 - 2 \cdot SK \cdot SM \cdot \cos(\alpha)$ $(\frac{a}{2})^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos(\alpha)$ $\frac{a^2}{4} = 2l^2(1 - \cos(\alpha))$ Применив формулу понижения степени $1 - \cos(\alpha) = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получим: $\frac{a^2}{4} = 2l^2 \cdot 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4l^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$ Отсюда выражаем длину апофемы $l$: $l = \frac{a}{4 \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды $H = SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ (где $O$ - центр основания, $SO \perp ABC$). Гипотенуза этого треугольника – апофема $SK = l$, а катеты – высота пирамиды $SO=H$ и отрезок $OK$. Отрезок $OK$ является радиусом окружности, вписанной в треугольник основания. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен: $OK = r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

По теореме Пифагора в треугольнике $SOK$: $H^2 = SK^2 - OK^2 = l^2 - r^2$ $H^2 = \left(\frac{a}{4 \sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \frac{a^2}{16 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{3a^2}{36} = \frac{a^2}{16 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{a^2}{12}$ Приведём дроби к общему знаменателю: $H^2 = a^2 \left( \frac{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{48 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} \right)$ Следовательно, высота равна: $H = \frac{a \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{ \sqrt{48} \sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{4\sqrt{3} \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Наконец, подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{4\sqrt{3} \sin(\frac{\alpha}{2})}$ $V = \frac{a^3 \sqrt{3} \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{12 \cdot 4\sqrt{3} \sin(\frac{\alpha}{2})}$ Сократив $\sqrt{3}$, получаем окончательное выражение для объёма: $V = \frac{a^3 \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{48 \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $V = \frac{a^3 \sqrt{3 - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{48 \sin(\frac{\alpha}{2})}$