Номер 259, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

259. В правильной шестиугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

259. В правильной шестиугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. Высота пирамиды – это отрезок $SO$.

Угол между боковой гранью (например, $SBC$) и плоскостью основания – это линейный угол двугранного угла. Для его построения проведем апофему боковой грани $SM$ (где $M$ – середина стороны основания $BC$) и апофему основания $OM$. Так как пирамида правильная, $OM \perp BC$ и $SM \perp BC$. Следовательно, угол $\angle SMO$ и есть угол между боковой гранью и основанием. По условию, $\angle SMO = 60^\circ$.

Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани $SBC$ – это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $(SBC)$. Так как плоскость $(SOM)$ перпендикулярна прямой $BC$ (которая лежит в грани $SBC$), то плоскость $(SOM)$ перпендикулярна плоскости $(SBC)$. Следовательно, перпендикуляр из точки $O$ к плоскости $(SBC)$ лежит в плоскости $(SOM)$. Опустим перпендикуляр $OK$ из точки $O$ на апофему $SM$. Таким образом, $OK$ – это искомое расстояние, и по условию $OK = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как $SO$ – высота пирамиды). В этом треугольнике $OK$ является высотой, проведенной к гипотенузе $SM$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OKM$ (угол $\angle OKM = 90^\circ$):
Катет $OK$ лежит против угла $\angle SMO$, значит, мы можем найти гипотенузу $OM$ (апофему основания):
$OM = \frac{OK}{\sin(\angle SMO)} = \frac{6}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем высоту пирамиды $H = SO$ из треугольника $\triangle SOM$ :
$H = SO = OM \cdot \tan(\angle SMO) = 4\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Для вычисления площади основания $S_{осн}$ найдем сторону правильного шестиугольника $a$. Апофема $OM$ связана со стороной $a$ соотношением: $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$4\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$4 = \frac{a}{2} \implies a = 8$ см.

Площадь правильного шестиугольника $S_{осн}$ состоит из шести площадей равносторонних треугольников со стороной $a$. Формула площади: $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
$S_{осн} = \frac{3 \cdot 8^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 64 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 32\sqrt{3} = 96\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, найдем объём пирамиды $V$ по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.
$V = \frac{1}{3} \cdot 96\sqrt{3} \cdot 12 = 32\sqrt{3} \cdot 12 = 384\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $384\sqrt{3}$ см$^3$.