Номер 260, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

260. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды — прямоугольный треугольник, площадь которого равна $S$. Найдите объём пирамиды.

260. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды — прямоугольный треугольник, площадь которого равна $S$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $PABCD$ с вершиной $P$ и основанием $ABCD$. Основанием является квадрат $ABCD$. Диагональное сечение пирамиды — это треугольник, проходящий через вершину $P$ и диагональ основания, например, $AC$. Таким образом, диагональное сечение — это треугольник $PAC$.

Поскольку пирамида правильная, ее боковые ребра равны: $PA = PB = PC = PD$. Следовательно, треугольник $PAC$ является равнобедренным с основанием $AC$ и боковыми сторонами $PA$ и $PC$.

По условию, диагональное сечение является прямоугольным треугольником. В равнобедренном треугольнике прямой угол может быть только при вершине, противолежащей основанию (иначе сумма углов треугольника была бы больше $180^\circ$). Значит, $\angle APC = 90^\circ$. Таким образом, боковые ребра $PA$ и $PC$ являются катетами, а диагональ основания $AC$ — гипотенузой этого треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника $PAC$ равна $S$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S = S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PC$.Так как $PA = PC$, обозначим длину бокового ребра за $l$. Тогда:$S = \frac{1}{2} l \cdot l = \frac{1}{2} l^2$.Отсюда выразим квадрат бокового ребра: $l^2 = 2S$.

Найдем диагональ основания $AC$. По теореме Пифагора для треугольника $PAC$:$AC^2 = PA^2 + PC^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$.Подставим найденное значение $l^2 = 2S$:$AC^2 = 2 \cdot (2S) = 4S$.Тогда длина диагонали $AC = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Найдем площадь основания. Основание — это квадрат с диагональю $d = AC = 2\sqrt{S}$. Площадь квадрата через диагональ:$S_{осн} = \frac{d^2}{2} = \frac{AC^2}{2} = \frac{4S}{2} = 2S$.

Найдем высоту пирамиды $h$. Высота $h = PO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). В треугольнике $PAC$ высота $PO$ является высотой, проведенной к гипотенузе. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также является медианой и равна половине гипотенузы:$h = PO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{S}) = \sqrt{S}$.

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (2S) \cdot (\sqrt{S}) = \frac{2S\sqrt{S}}{3}$.

Ответ: $\frac{2S\sqrt{S}}{3}$.