Номер 254, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

254. Объём правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объём правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 2 раза больше высоты, а сторона основания в 4 раза меньше стороны основания данной пирамиды?

254. Объём правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объём правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 2 раза больше высоты, а сторона основания в 4 раза меньше стороны основания данной пирамиды?

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

Обозначим параметры исходной правильной $n$-угольной пирамиды:

• Объем: $V_1 = V$
• Сторона основания: $a_1$
• Высота: $H_1$
• Площадь основания: $S_1$

Для этой пирамиды формула объема выглядит так: $V = \frac{1}{3} S_1 \cdot H_1$.

Теперь обозначим параметры новой правильной $n$-угольной пирамиды:

• Объем: $V_2$
• Сторона основания: $a_2$
• Высота: $H_2$
• Площадь основания: $S_2$

По условию задачи, высота новой пирамиды в 2 раза больше высоты данной, а сторона основания в 4 раза меньше. Запишем это математически:

$H_2 = 2 \cdot H_1$

$a_2 = \frac{a_1}{4}$

Основания обеих пирамид — это правильные $n$-угольники. Такие фигуры являются подобными. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия (который, в свою очередь, равен отношению соответствующих сторон).

Найдем отношение площадей оснований:

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{a_2}{a_1})^2$

Подставим известное соотношение сторон:

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{a_1/4}{a_1})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

Отсюда следует, что площадь основания новой пирамиды в 16 раз меньше площади основания исходной:

$S_2 = \frac{1}{16} S_1$

Теперь мы можем вычислить объем новой пирамиды $V_2$:

$V_2 = \frac{1}{3} S_2 \cdot H_2$

Подставим в эту формулу выражения для $S_2$ и $H_2$:

$V_2 = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{16} S_1) \cdot (2 H_1)$

Перегруппируем множители, чтобы выделить выражение для объема исходной пирамиды $V_1$:

$V_2 = \frac{2}{16} \cdot (\frac{1}{3} S_1 \cdot H_1)$

Сократим дробь $\frac{2}{16}$ до $\frac{1}{8}$ и заменим выражение в скобках на $V$:

$V_2 = \frac{1}{8} \cdot V = \frac{V}{8}$

Ответ: $\frac{V}{8}$