Номер 257, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$.

257. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$,

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a = 6$ см. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна:

$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Тогда площадь основания (шестиугольника) равна:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = 6$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 6^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 18 \sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту пирамиды $H$.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой боковой грани и проекцией этой апофемы на плоскость основания. Проекцией апофемы боковой грани на основание является радиус вписанной в основание окружности (или апофема основания).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и апофемой боковой грани. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами. Угол между апофемой боковой грани и апофемой основания по условию равен $60^\circ$.

Апофема правильного шестиугольника (катет $r$) равна высоте равностороннего треугольника, из которых он состоит:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим $a = 6$ см:

$r = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь из этого прямоугольного треугольника найдем высоту $H$ (второй катет):

$\tan(60^\circ) = \frac{H}{r}$

$H = r \cdot \tan(60^\circ)$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$H = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

3. Вычислим объем пирамиды $V$.

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн} = 54\sqrt{3}$ см² и высоты $H = 9$ см в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 54\sqrt{3} \cdot 9$

$V = 18\sqrt{3} \cdot 9 = 162\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $162\sqrt{3}$ см³.