Номер 250, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

250. Боковое ребро наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно 7 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 6 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 25 см, а между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ — 29 см. Найдите объём параллелепипеда.

250. Боковое ребро наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно 7 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 6 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 25 см, а между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ — 29 см. Найдите объём параллелепипеда.

Объём наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{перп} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $S_{перп}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы (сечения, перпендикулярного боковым рёбрам).

Из условия задачи нам известны:

• Длина бокового ребра $l = 7$ см.
• Расстояния между боковыми рёбрами, которые являются сторонами перпендикулярного сечения.

Перпендикулярное сечение представляет собой треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$, равными расстояниям между параллельными боковыми рёбрами:

• $a = 6$ см (расстояние между $AA_1$ и $BB_1$)
• $b = 25$ см (расстояние между $BB_1$ и $CC_1$)
• $c = 29$ см (расстояние между $AA_1$ и $CC_1$)

Для нахождения площади этого треугольника ($S_{перп}$) воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

1. Найдём полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+25+29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

2. Вычислим площадь перпендикулярного сечения $S_{перп}$:

$S_{перп} = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см².

3. Теперь найдём объём призмы:

$V = S_{перп} \cdot l = 60 \text{ см}^2 \cdot 7 \text{ см} = 420$ см³.

Примечание: в условии задачи указана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, но требуется найти объём параллелепипеда. Вероятно, это опечатка, и имелся в виду объём указанной призмы. Решение приведено для объёма призмы.

Ответ: 420 см³.