Номер 245, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

245. Точки $M$, $K$ и $N$ — середины соответственно рёбер $AB$, $BC$ и $A_1B_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью $MKN$, равен $V$. Найдите объём данного куба.

245. Точки $M$, $K$ и $N$ — середины соответственно рёбер $AB$, $BC$ и $A_1B_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью $MKN$, равен $V$. Найдите объём данного куба.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Тогда объём куба $V_{куба}$ вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$.

По условию, точки $M$, $K$ и $N$ являются серединами рёбер $AB$, $BC$ и $A_1B_1$ соответственно. Плоскость, проходящая через эти три точки, отсекает от куба тело, которое, как указано в условии, является треугольной призмой.

Основанием этой призмы является треугольник $MBK$, лежащий в плоскости основания куба $ABCD$. Так как рёбра куба $AB$ и $BC$ перпендикулярны, то треугольник $MBK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, а $K$ — середина $BC$, длины катетов этого треугольника равны: $MB = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$ и $BK = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.

Площадь основания призмы, то есть площадь треугольника $MBK$, равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$.

Теперь определим высоту призмы. Точка $M$ является серединой ребра $AB$, а точка $N$ — серединой параллельного ему ребра $A_1B_1$. Отрезок $MN$ соединяет середины этих рёбер, поэтому он параллелен боковому ребру $AA_1$ и его длина равна $a$. Так как секущая плоскость $MKN$ содержит прямую $MN$, которая перпендикулярна основанию $ABCD$, то и сама плоскость перпендикулярна основанию. Это означает, что отсечённое тело является прямой треугольной призмой.

Высота этой прямой призмы $h$ равна длине бокового ребра куба, то есть $h = a$.

Объём призмы $V$ равен произведению площади её основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2}{8} \cdot a = \frac{a^3}{8}$.

Из этого соотношения мы можем выразить объём куба $V_{куба} = a^3$ через известный объём призмы $V$:

$a^3 = 8V$.

Таким образом, объём данного куба равен $8V$.

Ответ: $8V$.