Номер 252, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

252. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см. Две его боковые грани — также прямоугольники со сторонами 5 см и 4 см, а острый угол двух других граней равен $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

252. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см. Две его боковые грани — также прямоугольники со сторонами 5 см и 4 см, а острый угол двух других граней равен $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем площадь основания.

Основанием является прямоугольник со сторонами $a = 5$ см и $b = 8$ см. Его площадь равна:

$S_{осн} = a \cdot b = 5 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$.

2. Найдем высоту параллелепипеда.

Пусть основанием параллелепипеда будет прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 8$ см и $AD = 5$ см. Верхнее основание — $A'B'C'D'$.

Из условия, две боковые грани — прямоугольники со сторонами 5 см и 4 см. Поскольку одна из сторон этих граней является стороной основания (5 см), то речь идет о гранях $ADD'A'$ и $BCC'B'$. Это означает, что боковое ребро параллелепипеда равно 4 см ($l = AA' = 4$ см) и оно перпендикулярно ребру основания $AD$ ($AA' \perp AD$).

Две другие боковые грани ($ABB'A'$ и $CDD'C'$) являются параллелограммами со сторонами 8 см и 4 см, и их острый угол равен $45^\circ$. Таким образом, угол между боковым ребром $AA'$ и ребром основания $AB$ равен $45^\circ$, то есть $\angle A'AB = 45^\circ$.

Высота параллелепипеда $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины верхнего основания (например, $A'$) на плоскость нижнего основания ($ABCD$).

Так как боковая грань $ADD'A'$ — прямоугольник, то ребро $AA'$ перпендикулярно ребру $AD$. Основание $ABCD$ — также прямоугольник, поэтому ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AD$. Поскольку и $AA'$, и $AB$ перпендикулярны $AD$, они лежат в одной плоскости, перпендикулярной ребру $AD$.

Следовательно, высота параллелепипеда $H$ будет равна высоте боковой грани (параллелограмма) $ABB'A'$, проведенной из вершины $A'$ к основанию $AB$.

Найдем эту высоту из прямоугольного треугольника, где гипотенузой является боковое ребро $AA'$, а одним из углов — $\angle A'AB = 45^\circ$:

$H = AA' \cdot \sin(\angle A'AB) = 4 \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}$.

3. Найдем объем параллелепипеда.

Теперь мы можем вычислить объем, используя найденные площадь основания и высоту:

$V = S_{осн} \cdot H = 40 \text{ см}^2 \cdot 2\sqrt{2} \text{ см} = 80\sqrt{2} \text{ см}^3$.

Ответ: $80\sqrt{2} \text{ см}^3$.