Номер 256, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

256. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $4\sqrt{3}$ см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

256. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $4\sqrt{3}$ см и образует с плоскостью основания угол 30°.

Объём правильной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, в её основании лежит квадрат, а высота пирамиды опускается в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ и проекцией бокового ребра на плоскость основания. В этом треугольнике боковое ребро $l = 4\sqrt{3}$ см является гипотенузой, а высота $H$ и проекция бокового ребра — катетами. Угол между боковым ребром и плоскостью основания по условию равен $30°$.

Высота пирамиды $H$ является катетом, противолежащим углу в $30°$. Найдём её длину, используя синус угла:

$H = l \cdot \sin(30°) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Проекция бокового ребра на плоскость основания — это второй катет, прилежащий к углу $30°$. Эта проекция равна половине диагонали квадрата, лежащего в основании. Найдём её длину, используя косинус угла:

$\frac{d}{2} = l \cdot \cos(30°) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.

Следовательно, вся диагональ основания $d$ равна:

$d = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь найдём площадь основания $S_{осн}$. Площадь квадрата можно вычислить через его диагональ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$:

$S_{осн} = \frac{12^2}{2} = \frac{144}{2} = 72$ см².

Наконец, вычислим объём пирамиды, подставив найденные значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 2\sqrt{3} = 24 \cdot 2\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см³.