Страница 67 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

252. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см. Две его боковые грани — также прямоугольники со сторонами 5 см и 4 см, а острый угол двух других граней равен $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

252. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см. Две его боковые грани — также прямоугольники со сторонами 5 см и 4 см, а острый угол двух других граней равен $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем площадь основания.

Основанием является прямоугольник со сторонами $a = 5$ см и $b = 8$ см. Его площадь равна:

$S_{осн} = a \cdot b = 5 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$.

2. Найдем высоту параллелепипеда.

Пусть основанием параллелепипеда будет прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 8$ см и $AD = 5$ см. Верхнее основание — $A'B'C'D'$.

Из условия, две боковые грани — прямоугольники со сторонами 5 см и 4 см. Поскольку одна из сторон этих граней является стороной основания (5 см), то речь идет о гранях $ADD'A'$ и $BCC'B'$. Это означает, что боковое ребро параллелепипеда равно 4 см ($l = AA' = 4$ см) и оно перпендикулярно ребру основания $AD$ ($AA' \perp AD$).

Две другие боковые грани ($ABB'A'$ и $CDD'C'$) являются параллелограммами со сторонами 8 см и 4 см, и их острый угол равен $45^\circ$. Таким образом, угол между боковым ребром $AA'$ и ребром основания $AB$ равен $45^\circ$, то есть $\angle A'AB = 45^\circ$.

Высота параллелепипеда $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины верхнего основания (например, $A'$) на плоскость нижнего основания ($ABCD$).

Так как боковая грань $ADD'A'$ — прямоугольник, то ребро $AA'$ перпендикулярно ребру $AD$. Основание $ABCD$ — также прямоугольник, поэтому ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AD$. Поскольку и $AA'$, и $AB$ перпендикулярны $AD$, они лежат в одной плоскости, перпендикулярной ребру $AD$.

Следовательно, высота параллелепипеда $H$ будет равна высоте боковой грани (параллелограмма) $ABB'A'$, проведенной из вершины $A'$ к основанию $AB$.

Найдем эту высоту из прямоугольного треугольника, где гипотенузой является боковое ребро $AA'$, а одним из углов — $\angle A'AB = 45^\circ$:

$H = AA' \cdot \sin(\angle A'AB) = 4 \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}$.

3. Найдем объем параллелепипеда.

Теперь мы можем вычислить объем, используя найденные площадь основания и высоту:

$V = S_{осн} \cdot H = 40 \text{ см}^2 \cdot 2\sqrt{2} \text{ см} = 80\sqrt{2} \text{ см}^3$.

Ответ: $80\sqrt{2} \text{ см}^3$.

253. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 6 см.

253. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 6 см.

Для нахождения объёма пирамиды используется формула:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ – это площадь основания, а $h$ – высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Его площадь равна половине произведения катетов. Нам известны гипотенуза $c = 13$ см и один катет, пусть это будет $a = 12$ см. Найдем второй катет $b$ с помощью теоремы Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известные значения:

$12^2 + b^2 = 13^2$

$144 + b^2 = 169$

$b^2 = 169 - 144$

$b^2 = 25$

$b = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь, зная оба катета ($a = 12$ см и $b = 5$ см), можем вычислить площадь основания ($S_{осн}$):

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$ см².

2. Найдем объем пирамиды.

Высота пирамиды дана в условии: $h = 6$ см. Подставим значения площади основания и высоты в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60$ см³.

Ответ: 60 см³.

254. Объём правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объём правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 2 раза больше высоты, а сторона основания в 4 раза меньше стороны основания данной пирамиды?

254. Объём правильной $n$-угольной пирамиды равен $V$. Чему равен объём правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой в 2 раза больше высоты, а сторона основания в 4 раза меньше стороны основания данной пирамиды?

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

Обозначим параметры исходной правильной $n$-угольной пирамиды:

• Объем: $V_1 = V$
• Сторона основания: $a_1$
• Высота: $H_1$
• Площадь основания: $S_1$

Для этой пирамиды формула объема выглядит так: $V = \frac{1}{3} S_1 \cdot H_1$.

Теперь обозначим параметры новой правильной $n$-угольной пирамиды:

• Объем: $V_2$
• Сторона основания: $a_2$
• Высота: $H_2$
• Площадь основания: $S_2$

По условию задачи, высота новой пирамиды в 2 раза больше высоты данной, а сторона основания в 4 раза меньше. Запишем это математически:

$H_2 = 2 \cdot H_1$

$a_2 = \frac{a_1}{4}$

Основания обеих пирамид — это правильные $n$-угольники. Такие фигуры являются подобными. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия (который, в свою очередь, равен отношению соответствующих сторон).

Найдем отношение площадей оснований:

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{a_2}{a_1})^2$

Подставим известное соотношение сторон:

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{a_1/4}{a_1})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

Отсюда следует, что площадь основания новой пирамиды в 16 раз меньше площади основания исходной:

$S_2 = \frac{1}{16} S_1$

Теперь мы можем вычислить объем новой пирамиды $V_2$:

$V_2 = \frac{1}{3} S_2 \cdot H_2$

Подставим в эту формулу выражения для $S_2$ и $H_2$:

$V_2 = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{16} S_1) \cdot (2 H_1)$

Перегруппируем множители, чтобы выделить выражение для объема исходной пирамиды $V_1$:

$V_2 = \frac{2}{16} \cdot (\frac{1}{3} S_1 \cdot H_1)$

Сократим дробь $\frac{2}{16}$ до $\frac{1}{8}$ и заменим выражение в скобках на $V$:

$V_2 = \frac{1}{8} \cdot V = \frac{V}{8}$

Ответ: $\frac{V}{8}$

255. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а высота пирамиды — 4 см.

255. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а высота пирамиды — 4 см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$,

где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $h$ — её высота.

В основании данной правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ см. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны основания $a=6$ см в формулу:

$S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}$ см².

Высота пирамиды дана по условию: $h = 4$ см.

Теперь мы можем вычислить объём пирамиды, подставив найденные значения в основную формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9 \sqrt{3} \cdot 4$

$V = 3 \sqrt{3} \cdot 4 = 12 \sqrt{3}$ см³.

Ответ: $12 \sqrt{3}$ см³.

256. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $4\sqrt{3}$ см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

256. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $4\sqrt{3}$ см и образует с плоскостью основания угол 30°.

Объём правильной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, в её основании лежит квадрат, а высота пирамиды опускается в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ и проекцией бокового ребра на плоскость основания. В этом треугольнике боковое ребро $l = 4\sqrt{3}$ см является гипотенузой, а высота $H$ и проекция бокового ребра — катетами. Угол между боковым ребром и плоскостью основания по условию равен $30°$.

Высота пирамиды $H$ является катетом, противолежащим углу в $30°$. Найдём её длину, используя синус угла:

$H = l \cdot \sin(30°) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Проекция бокового ребра на плоскость основания — это второй катет, прилежащий к углу $30°$. Эта проекция равна половине диагонали квадрата, лежащего в основании. Найдём её длину, используя косинус угла:

$\frac{d}{2} = l \cdot \cos(30°) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.

Следовательно, вся диагональ основания $d$ равна:

$d = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь найдём площадь основания $S_{осн}$. Площадь квадрата можно вычислить через его диагональ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$:

$S_{осн} = \frac{12^2}{2} = \frac{144}{2} = 72$ см².

Наконец, вычислим объём пирамиды, подставив найденные значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 2\sqrt{3} = 24 \cdot 2\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см³.

257. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$.

257. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$,

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a = 6$ см. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна:

$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Тогда площадь основания (шестиугольника) равна:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = 6$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 6^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 18 \sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту пирамиды $H$.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой боковой грани и проекцией этой апофемы на плоскость основания. Проекцией апофемы боковой грани на основание является радиус вписанной в основание окружности (или апофема основания).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и апофемой боковой грани. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами. Угол между апофемой боковой грани и апофемой основания по условию равен $60^\circ$.

Апофема правильного шестиугольника (катет $r$) равна высоте равностороннего треугольника, из которых он состоит:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим $a = 6$ см:

$r = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь из этого прямоугольного треугольника найдем высоту $H$ (второй катет):

$\tan(60^\circ) = \frac{H}{r}$

$H = r \cdot \tan(60^\circ)$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$H = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

3. Вычислим объем пирамиды $V$.

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн} = 54\sqrt{3}$ см² и высоты $H = 9$ см в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 54\sqrt{3} \cdot 9$

$V = 18\sqrt{3} \cdot 9 = 162\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $162\sqrt{3}$ см³.

258. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $d$, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

258. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $d$, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$)

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Площадь квадрата можно выразить через его диагональ $d$ по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2}d^2$

2. Найдем высоту пирамиды ($H$)

Угол $\alpha$ между боковой гранью и плоскостью основания — это двугранный угол. Для его построения проведем апофему (высоту боковой грани) $SM$ к стороне основания $CD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). Тогда отрезок $OM$ будет проекцией апофемы $SM$ на плоскость основания. Так как пирамида правильная, $OM \perp CD$. Таким образом, угол между апофемой $SM$ и ее проекцией $OM$ и есть данный линейный угол двугранного угла, то есть $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (где $\angle SOM = 90^\circ$). Высота пирамиды $H = SO$ является катетом этого треугольника.

Катет $OM$ равен половине стороны основания. Найдем сторону основания $a$ через диагональ $d$. Для квадрата $d = a\sqrt{2}$, откуда $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Следовательно, $OM = \frac{a}{2} = \frac{d}{2\sqrt{2}}$.

Из треугольника $SOM$ найдем высоту $H$ через тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{OM}$

$H = OM \cdot \tan(\alpha) = \frac{d}{2\sqrt{2}} \tan(\alpha)$

3. Вычислим объем пирамиды ($V$)

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{d^2}{2} \cdot \frac{d \tan(\alpha)}{2\sqrt{2}} = \frac{d^3 \tan(\alpha)}{12\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$V = \frac{d^3 \tan(\alpha) \cdot \sqrt{2}}{12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} d^3 \tan(\alpha)}{12 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2} d^3 \tan(\alpha)}{24}$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{2} d^3 \tan(\alpha)}{24}$.

259. В правильной шестиугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

259. В правильной шестиугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. Высота пирамиды – это отрезок $SO$.

Угол между боковой гранью (например, $SBC$) и плоскостью основания – это линейный угол двугранного угла. Для его построения проведем апофему боковой грани $SM$ (где $M$ – середина стороны основания $BC$) и апофему основания $OM$. Так как пирамида правильная, $OM \perp BC$ и $SM \perp BC$. Следовательно, угол $\angle SMO$ и есть угол между боковой гранью и основанием. По условию, $\angle SMO = 60^\circ$.

Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани $SBC$ – это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $(SBC)$. Так как плоскость $(SOM)$ перпендикулярна прямой $BC$ (которая лежит в грани $SBC$), то плоскость $(SOM)$ перпендикулярна плоскости $(SBC)$. Следовательно, перпендикуляр из точки $O$ к плоскости $(SBC)$ лежит в плоскости $(SOM)$. Опустим перпендикуляр $OK$ из точки $O$ на апофему $SM$. Таким образом, $OK$ – это искомое расстояние, и по условию $OK = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как $SO$ – высота пирамиды). В этом треугольнике $OK$ является высотой, проведенной к гипотенузе $SM$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OKM$ (угол $\angle OKM = 90^\circ$):
Катет $OK$ лежит против угла $\angle SMO$, значит, мы можем найти гипотенузу $OM$ (апофему основания):
$OM = \frac{OK}{\sin(\angle SMO)} = \frac{6}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем высоту пирамиды $H = SO$ из треугольника $\triangle SOM$ :
$H = SO = OM \cdot \tan(\angle SMO) = 4\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Для вычисления площади основания $S_{осн}$ найдем сторону правильного шестиугольника $a$. Апофема $OM$ связана со стороной $a$ соотношением: $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$4\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$4 = \frac{a}{2} \implies a = 8$ см.

Площадь правильного шестиугольника $S_{осн}$ состоит из шести площадей равносторонних треугольников со стороной $a$. Формула площади: $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
$S_{осн} = \frac{3 \cdot 8^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 64 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 32\sqrt{3} = 96\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, найдем объём пирамиды $V$ по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.
$V = \frac{1}{3} \cdot 96\sqrt{3} \cdot 12 = 32\sqrt{3} \cdot 12 = 384\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $384\sqrt{3}$ см$^3$.

260. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды — прямоугольный треугольник, площадь которого равна $S$. Найдите объём пирамиды.

260. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды — прямоугольный треугольник, площадь которого равна $S$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $PABCD$ с вершиной $P$ и основанием $ABCD$. Основанием является квадрат $ABCD$. Диагональное сечение пирамиды — это треугольник, проходящий через вершину $P$ и диагональ основания, например, $AC$. Таким образом, диагональное сечение — это треугольник $PAC$.

Поскольку пирамида правильная, ее боковые ребра равны: $PA = PB = PC = PD$. Следовательно, треугольник $PAC$ является равнобедренным с основанием $AC$ и боковыми сторонами $PA$ и $PC$.

По условию, диагональное сечение является прямоугольным треугольником. В равнобедренном треугольнике прямой угол может быть только при вершине, противолежащей основанию (иначе сумма углов треугольника была бы больше $180^\circ$). Значит, $\angle APC = 90^\circ$. Таким образом, боковые ребра $PA$ и $PC$ являются катетами, а диагональ основания $AC$ — гипотенузой этого треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника $PAC$ равна $S$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S = S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PC$.Так как $PA = PC$, обозначим длину бокового ребра за $l$. Тогда:$S = \frac{1}{2} l \cdot l = \frac{1}{2} l^2$.Отсюда выразим квадрат бокового ребра: $l^2 = 2S$.

Найдем диагональ основания $AC$. По теореме Пифагора для треугольника $PAC$:$AC^2 = PA^2 + PC^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$.Подставим найденное значение $l^2 = 2S$:$AC^2 = 2 \cdot (2S) = 4S$.Тогда длина диагонали $AC = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Найдем площадь основания. Основание — это квадрат с диагональю $d = AC = 2\sqrt{S}$. Площадь квадрата через диагональ:$S_{осн} = \frac{d^2}{2} = \frac{AC^2}{2} = \frac{4S}{2} = 2S$.

Найдем высоту пирамиды $h$. Высота $h = PO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). В треугольнике $PAC$ высота $PO$ является высотой, проведенной к гипотенузе. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также является медианой и равна половине гипотенузы:$h = PO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{S}) = \sqrt{S}$.

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (2S) \cdot (\sqrt{S}) = \frac{2S\sqrt{S}}{3}$.

Ответ: $\frac{2S\sqrt{S}}{3}$.