Страница 60 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. Плоскость $\alpha$ касается шара с центром $O$ в точке $A$, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$ (рис. 17). Найдите отрезок $OB$, если радиус шара равен $R$, $\angle ABO = \gamma$.

Рис. 17

188. Плоскость $\alpha$ касается шара с центром $O$ в точке $A$, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$ (рис. 17). Найдите отрезок $OB$, если радиус шара равен $R$, $\angle ABO = \gamma$.

Рис. 17

По условию задачи, плоскость $\alpha$ касается шара с центром в точке $O$ в точке $A$. Согласно свойству касательной плоскости, радиус шара, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, и его длина равна $R$, то есть $OA = R$.

Так как точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$, отрезок $AB$ также лежит в этой плоскости. Из того, что прямая $OA$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, следует, что она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Значит, $OA \perp AB$, и угол $\angle OAB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. В этом треугольнике катет $OA$ равен $R$, а угол, противолежащий этому катету, $\angle ABO = \gamma$. Отрезок $OB$ является гипотенузой.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, синус угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы:

$\sin(\angle ABO) = \frac{OA}{OB}$

Подставим известные нам значения в эту формулу:

$\sin(\gamma) = \frac{R}{OB}$

Из этого соотношения выразим искомую длину отрезка $OB$:

$OB = \frac{R}{\sin(\gamma)}$

Ответ: $\frac{R}{\sin(\gamma)}$

189. К сфере радиуса 15 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости выбрали точку K такую, что расстояние от неё до ближайшей к ней точки сферы равно 2 см. Найдите расстояние от точки K до точки касания сферы с плоскостью и расстояние от точки K до наиболее удалённой от неё точки сферы.

189. К сфере радиуса 15 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости выбрали точку K такую, что расстояние от неё до ближайшей к ней точки сферы равно 2 см. Найдите расстояние от точки K до точки касания сферы с плоскостью и расстояние от точки K до наиболее удалённой от неё точки сферы.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — ее радиус, $\alpha$ — касательная плоскость, а $T$ — точка касания. По условию, радиус сферы $R = 15$ см. Точка $K$ находится в касательной плоскости $\alpha$.

Ближайшая к точке $K$ точка на сфере (назовем ее $A$) и наиболее удаленная от $K$ точка на сфере (назовем ее $B$) лежат на прямой, проходящей через центр сферы $O$ и точку $K$.

Расстояние от точки $K$ до ближайшей к ней точки $A$ на сфере вычисляется как разность расстояния от центра сферы до точки $K$ и радиуса сферы: $KA = OK - R$.

По условию задачи, это расстояние равно 2 см, то есть $KA = 2$ см. Используя это, найдем расстояние от центра сферы до точки $K$:

$OK - R = 2$

$OK - 15 = 2$

$OK = 17$ см.

Теперь мы можем найти требуемые расстояния.

Расстояние от точки К до точки касания сферы с плоскостью

Рассмотрим треугольник $\triangle OTK$. Радиус $OT$, проведенный в точку касания $T$, перпендикулярен касательной плоскости $\alpha$. Поскольку отрезок $KT$ лежит в плоскости $\alpha$, то $OT \perp KT$. Следовательно, треугольник $\triangle OTK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

В этом треугольнике:

• $OT$ — катет, равный радиусу сферы, $OT = R = 15$ см.
• $OK$ — гипотенуза, расстояние от центра сферы до точки $K$, $OK = 17$ см.
• $KT$ — второй катет, искомое расстояние от точки $K$ до точки касания $T$.

По теореме Пифагора: $OK^2 = OT^2 + KT^2$.

Отсюда находим $KT$:

$KT^2 = OK^2 - OT^2$

$KT^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

$KT = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

Расстояние от точки К до наиболее удалённой от неё точки сферы

Наиболее удаленная от точки $K$ точка сферы, $B$, лежит на прямой $OK$ на продолжении отрезка $OK$ за центром $O$. Расстояние $KB$ равно сумме расстояния от точки $K$ до центра сферы $O$ и радиуса сферы $R$.

$KB = OK + R$

Подставляем известные значения $OK = 17$ см и $R = 15$ см:

$KB = 17 + 15 = 32$ см.

Ответ: 32 см.

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точ-ку $E (26; -5; -9)$.

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $E (26; -5; -9)$.

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Условие касания сферы каждой из координатных плоскостей ($x=0$, $y=0$, $z=0$) означает, что расстояние от центра сферы до каждой из этих плоскостей равно радиусу $R$. Расстояние от центра $(x_0, y_0, z_0)$ до координатных плоскостей равно модулям его координат. Таким образом, выполняется равенство:

$|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$

Сфера проходит через точку $E(26; -5; -9)$. Координаты этой точки определяют октант ($x>0$, $y<0$, $z<0$), в котором находится часть сферы. Поскольку сфера касается всех координатных плоскостей, её центр должен находиться в том же октанте, что и точка $E$. Следовательно, знаки координат центра будут такими же:

$x_0 > 0$, $y_0 < 0$, $z_0 < 0$.

С учетом этого, координаты центра можно выразить через радиус $R$:

$x_0 = R$, $y_0 = -R$, $z_0 = -R$.

Таким образом, центр сферы — это точка $C(R, -R, -R)$, и её уравнение принимает вид:

$(x - R)^2 + (y + R)^2 + (z + R)^2 = R^2$

Чтобы найти значение $R$, подставим в это уравнение координаты точки $E(26; -5; -9)$, через которую проходит сфера:

$(26 - R)^2 + (-5 + R)^2 + (-9 + R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(26^2 - 2 \cdot 26 \cdot R + R^2) + ((-5)^2 + 2 \cdot (-5) \cdot R + R^2) + ((-9)^2 + 2 \cdot (-9) \cdot R + R^2) = R^2$

$(676 - 52R + R^2) + (25 - 10R + R^2) + (81 - 18R + R^2) = R^2$

$3R^2 - (52 + 10 + 18)R + (676 + 25 + 81) = R^2$

$3R^2 - 80R + 782 = R^2$

$2R^2 - 80R + 782 = 0$

Разделив все уравнение на 2, получим упрощенное квадратное уравнение:

$R^2 - 40R + 391 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 391 = 1600 - 1564 = 36$

Корни уравнения равны:

$R_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 + \sqrt{36}}{2} = \frac{40 + 6}{2} = 23$

$R_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 - \sqrt{36}}{2} = \frac{40 - 6}{2} = 17$

Получили два возможных значения радиуса, следовательно, существуют две сферы, удовлетворяющие заданным условиям.

1. Для $R_1 = 17$ центр сферы находится в точке $C_1(17, -17, -17)$. Уравнение первой сферы:

$(x - 17)^2 + (y + 17)^2 + (z + 17)^2 = 17^2$

$(x - 17)^2 + (y + 17)^2 + (z + 17)^2 = 289$

2. Для $R_2 = 23$ центр сферы находится в точке $C_2(23, -23, -23)$. Уравнение второй сферы:

$(x - 23)^2 + (y + 23)^2 + (z + 23)^2 = 23^2$

$(x - 23)^2 + (y + 23)^2 + (z + 23)^2 = 529$

Ответ: $(x - 17)^2 + (y + 17)^2 + (z + 17)^2 = 289$ и $(x - 23)^2 + (y + 23)^2 + (z + 23)^2 = 529$.

191. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 = 169$ в точке C (1; 9; 11).

191. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x+2)^2 + (y-5)^2 + (z+1)^2 = 169$ в точке C(1; 9; 11).

Уравнение сферы имеет канонический вид $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$, где точка $O(x_0, y_0, z_0)$ является центром сферы, а $R$ — её радиусом.

Для данной сферы $(x+2)^2 + (y-5)^2 + (z+1)^2 = 169$ центр находится в точке $O(-2; 5; -1)$, а радиус равен $R = \sqrt{169} = 13$.

Плоскость, касающаяся сферы в некоторой точке, перпендикулярна радиусу, проведенному из центра сферы в эту точку. Таким образом, вектор, соединяющий центр сферы $O$ с точкой касания $C(1; 9; 11)$, будет являться вектором нормали $\vec{n}$ к искомой плоскости.

Найдем координаты вектора нормали $\vec{n} = \vec{OC}$: $\vec{n} = \{x_C - x_O; y_C - y_O; z_C - z_O\} = \{1 - (-2); 9 - 5; 11 - (-1)\} = \{3; 4; 12\}$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_1, y_1, z_1)$ с вектором нормали $\vec{n}=\{A, B, C\}$, имеет вид: $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$.

Подставим в это уравнение координаты точки касания $C(1; 9; 11)$ и найденные координаты вектора нормали $\vec{n}=\{3; 4; 12\}$: $3(x - 1) + 4(y - 9) + 12(z - 11) = 0$.

Теперь раскроем скобки и приведем уравнение к общему виду $Ax+By+Cz+D=0$: $3x - 3 + 4y - 36 + 12z - 132 = 0$ $3x + 4y + 12z - 171 = 0$.

Ответ: $3x + 4y + 12z - 171 = 0$.

192. Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Шар касается всех сторон ромба, а расстояние от центра шара до плоскости ромба равно 16 см. Найдите радиус шара.

192. Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Шар касается всех сторон ромба, а расстояние от центра шара до плоскости ромба равно 16 см. Найдите радиус шара.

Пусть $d_1 = 30$ см и $d_2 = 40$ см — диагонали ромба. Расстояние от центра шара $O$ до плоскости ромба равно $h = 16$ см. Требуется найти радиус шара $R$.

Поскольку шар касается всех сторон ромба, его центр $O$ равноудален от всех сторон. Проекция центра шара на плоскость ромба, точка $O'$, будет равноудалена от сторон ромба, а значит, является центром вписанной в ромб окружности. Центр вписанной окружности ромба совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Сначала найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, образуя четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников — это половины диагоналей: $\frac{d_1}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см и $\frac{d_2}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см. Сторона ромба $a$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.

Теперь найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Этот радиус равен расстоянию от центра ромба до его стороны. Площадь ромба $S$ можно вычислить через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см². Также площадь ромба можно выразить через его сторону $a$ и высоту $h_{ромба}$, которая равна диаметру вписанной окружности ($h_{ромба} = 2r$), то есть $S = a \cdot 2r$. Приравняем два выражения для площади:$a \cdot 2r = 600$$25 \cdot 2r = 600$$50r = 600$$r = \frac{600}{50} = 12$ см.

Радиус шара $R$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояние от центра шара до плоскости ромба $h$ и радиус вписанной в ромб окружности $r$. Гипотенузой этого треугольника будет радиус шара $R$, так как это расстояние от центра шара до точки касания на стороне ромба.По теореме Пифагора:$R^2 = h^2 + r^2$$R = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: 20 см.

193. Стороны треугольника равны 7 см, 15 см и 20 см. Расстояние от центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $2\sqrt{3}$ см. Найдите радиус шара.

193. Стороны треугольника равны 7 см, 15 см и 20 см. Расстояние от центра шара, касающегося всех сторон треугольника, до плоскости треугольника равно $2\sqrt{3}$ см. Найдите радиус шара.

Пусть $O$ - центр шара, $R$ - его радиус, а $\alpha$ - плоскость данного треугольника. Пусть $I$ - проекция точки $O$ на плоскость $\alpha$. По условию, расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно $h = OI = 2\sqrt{3}$ см.

Так как шар касается всех сторон треугольника, то его центр $O$ равноудален от этих сторон. Расстояние от центра шара до любой из сторон треугольника равно радиусу шара $R$.

Точка $I$, являясь проекцией центра шара на плоскость треугольника, будет равноудалена от всех сторон этого треугольника. Точка, равноудаленная от всех сторон треугольника, является центром вписанной в него окружности. Обозначим радиус этой вписанной окружности как $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), проведенным к точке касания на одной из сторон, расстоянием от центра шара до плоскости $h$ (катет) и радиусом вписанной окружности $r$ (второй катет). По теореме Пифагора имеем соотношение: $R^2 = h^2 + r^2$.

Чтобы найти радиус шара $R$, нам нужно сначала вычислить радиус вписанной в треугольник окружности $r$. Стороны треугольника равны $a = 7$ см, $b = 15$ см, $c = 20$ см.

Найдем радиус вписанной окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+15+20}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1}$
$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{42}{21} = 2$ см.

Теперь, зная $h = 2\sqrt{3}$ см и $r = 2$ см, мы можем найти радиус шара $R$ из формулы $R^2 = h^2 + r^2$:
$R^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2$
$R^2 = 4 \cdot 3 + 4$
$R^2 = 12 + 4$
$R^2 = 16$
$R = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, основания которой равны 16 см и 36 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 13 см.

194. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, основания которой равны 16 см и 36 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 13 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой основания $AD = a = 36$ см и $BC = b = 16$ см. Шар с центром в точке $O$ и радиусом $R = 13$ см касается всех сторон этой трапеции.

Поскольку шар касается всех сторон трапеции, это означает, что в данную трапецию можно вписать окружность. Центр этой вписанной окружности (обозначим его $O'$) является ортогональной проекцией центра шара $O$ на плоскость трапеции. Расстояние от центра шара до плоскости трапеции — это длина перпендикуляра $OO'$, который мы обозначим как $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром шара $O$, центром вписанной окружности $O'$ и точкой касания $T$ шара с любой из сторон трапеции. В этом треугольнике $\triangle OO'T$:

• $OT$ — гипотенуза, равная радиусу шара $R = 13$ см.
• $O'T$ — катет, равный радиусу вписанной в трапецию окружности $r$.
• $OO'$ — катет, равный искомому расстоянию $h$.

По теореме Пифагора для этого треугольника справедливо соотношение: $R^2 = h^2 + r^2$.

Для нахождения $h$ нам необходимо сначала определить радиус вписанной окружности $r$.

Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции с боковой стороной $c$ это означает: $a + b = c + c = 2c$.

Подставим известные значения оснований:$36 + 16 = 2c$$52 = 2c$$c = 26$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $H$. В равнобокой трапеции высота, боковая сторона и половина разности оснований образуют прямоугольный треугольник. Проведем высоту из вершины $B$ к основанию $AD$ в точку $K$. Длина отрезка $AK$ будет равна:$AK = \frac{a - b}{2} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABK$ гипотенузой является боковая сторона $AB = c = 26$ см, а катетом — отрезок $AK = 10$ см. Найдем второй катет $BK$, который является высотой трапеции $H$, по теореме Пифагора:$H^2 = c^2 - AK^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$$H = \sqrt{576} = 24$ см.

Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте. Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты:$r = \frac{H}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь мы можем найти искомое расстояние $h$ из формулы $R^2 = h^2 + r^2$:$h^2 = R^2 - r^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$$h = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду. Радиусы сечений равны 9 см и 13 см, а радиус шара — 15 см. Найдите общую хорду сечений.

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду. Радиусы сечений равны 9 см и 13 см, а радиус шара — 15 см. Найдите общую хорду сечений.

Пусть $R$ — радиус шара, $r_1$ и $r_2$ — радиусы сечений. По условию задачи дано:

• Радиус шара $R = 15$ см.
• Радиус первого сечения $r_1 = 9$ см.
• Радиус второго сечения $r_2 = 13$ см.
• Плоскости сечений взаимно перпендикулярны.

Сечение шара плоскостью всегда является кругом. Связь между радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием $d$ от центра шара до плоскости сечения описывается теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом сечения и перпендикуляром из центра шара к плоскости сечения:$R^2 = r^2 + d^2$.

Найдем расстояния $d_1$ и $d_2$ от центра шара до плоскостей каждого из двух сечений.
Для первого сечения:
$d_1^2 = R^2 - r_1^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$.
Отсюда $d_1 = \sqrt{144} = 12$ см.

Для второго сечения:
$d_2^2 = R^2 - r_2^2 = 15^2 - 13^2 = 225 - 169 = 56$.
Отсюда $d_2 = \sqrt{56}$ см.

Для нахождения длины общей хорды введем прямоугольную систему координат. Поместим центр шара $O$ в начало координат $(0, 0, 0)$. Поскольку плоскости сечений перпендикулярны, мы можем сориентировать оси координат так, чтобы эти плоскости были параллельны координатным плоскостям. Пусть плоскость первого сечения перпендикулярна оси $Ox$, а плоскость второго сечения — оси $Oy$. Тогда их уравнения будут:
Плоскость 1: $x = d_1 = 12$.
Плоскость 2: $y = d_2 = \sqrt{56}$.

Общая хорда сечений принадлежит линии пересечения этих двух плоскостей. Это означает, что для любой точки $(x, y, z)$, лежащей на этой хорде, выполняются оба условия: $x=12$ и $y=\sqrt{56}$.

Концы общей хорды также лежат на поверхности шара. Уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом $R=15$ имеет вид:
$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, то есть $x^2 + y^2 + z^2 = 225$.

Подставим известные координаты $x$ и $y$ в уравнение сферы, чтобы найти $z$-координаты концов хорды:
$12^2 + (\sqrt{56})^2 + z^2 = 225$
$144 + 56 + z^2 = 225$
$200 + z^2 = 225$
$z^2 = 225 - 200 = 25$
$z = \pm\sqrt{25} = \pm 5$.

Таким образом, концы общей хорды имеют координаты $(12, \sqrt{56}, 5)$ и $(12, \sqrt{56}, -5)$. Длина хорды — это расстояние между этими двумя точками. Так как у них отличаются только $z$-координаты, длина хорды равна модулю разности этих координат:
$L = |5 - (-5)| = 10$ см.

Ответ: 10 см.