Страница 59 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку P (6; -8; 3), центр сферы принадлежит оси аппликат, а радиус сферы равен $\sqrt{109}$.

179. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку P (6; -8; 3), центр сферы принадлежит оси аппликат, а радиус сферы равен $\sqrt{109}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр сферы принадлежит оси аппликат (оси Oz). Это означает, что координаты центра сферы имеют вид $C(0; 0; z_0)$.

Радиус сферы известен и равен $R = \sqrt{109}$, следовательно, квадрат радиуса $R^2 = (\sqrt{109})^2 = 109$.

Подставим известные данные в общее уравнение сферы:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - z_0)^2 = 109$

$x^2 + y^2 + (z - z_0)^2 = 109$

Сфера проходит через точку $P(6; -8; 3)$. Это значит, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим координаты точки $P$ в полученное уравнение, чтобы найти неизвестную координату центра $z_0$:

$6^2 + (-8)^2 + (3 - z_0)^2 = 109$

$36 + 64 + (3 - z_0)^2 = 109$

$100 + (3 - z_0)^2 = 109$

Вычтем 100 из обеих частей уравнения:

$(3 - z_0)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, что даст два возможных случая:

1) $3 - z_0 = 3 \implies z_0 = 3 - 3 \implies z_0 = 0$. В этом случае центр сферы находится в точке $C_1(0; 0; 0)$.

2) $3 - z_0 = -3 \implies z_0 = 3 + 3 \implies z_0 = 6$. В этом случае центр сферы находится в точке $C_2(0; 0; 6)$.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две сферы. Запишем уравнения для каждой из них.

Для центра $C_1(0; 0; 0)$ уравнение сферы имеет вид:

$x^2 + y^2 + z^2 = 109$

Для центра $C_2(0; 0; 6)$ уравнение сферы имеет вид:

$x^2 + y^2 + (z - 6)^2 = 109$

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = 109$ или $x^2 + y^2 + (z - 6)^2 = 109$.

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

Для того чтобы доказать, что заданное уравнение является уравнением сферы, и найти ее центр и радиус, необходимо преобразовать это уравнение к каноническому виду уравнения сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — это координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2 = 0$.

Сгруппируем члены, содержащие одинаковые переменные:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + z^2 - 2 = 0$

Теперь выделим полные квадраты для выражений с $x$ и $y$. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Чтобы не нарушить равенство, будем одновременно добавлять и вычитать необходимые слагаемые.

Для группы с $x$: $x^2 - 2x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x - 1)^2 - 1$.

Для группы с $y$: $y^2 - 2y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (y - 1)^2 - 1$.

Подставим эти преобразованные выражения обратно в уравнение:

$((x - 1)^2 - 1) + ((y - 1)^2 - 1) + z^2 - 2 = 0$

Теперь раскроем скобки и объединим все постоянные члены:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 - 1 - 1 - 2 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 - 4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, чтобы получить канонический вид:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 4$

Данное уравнение можно записать как $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = 2^2$.

Поскольку исходное уравнение успешно приведено к каноническому виду уравнения сферы, это доказывает, что оно действительно описывает сферу.

Сравнивая полученное уравнение с общей формой $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, мы можем определить координаты центра и радиус:

Координаты центра сферы $(x_0, y_0, z_0)$ равны $(1, 1, 0)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус сферы $R = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: Уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ является уравнением сферы с центром в точке с координатами $(1, 1, 0)$ и радиусом, равным $2$.

181. Диаметр сферы равен 34 см. На каком расстоянии от центра сферы надо провести плоскость, чтобы длина линии пересечения сферы с этой плоскостью была равной $16\pi$ см?

181. Диаметр сферы равен 34 см. На каком расстоянии от центра сферы надо провести плоскость, чтобы длина линии пересечения сферы с этой плоскостью была равной $16\pi$ см?

Найдем радиус сферы $R$. Диаметр сферы по условию равен $D = 34$ см, следовательно, радиус равен его половине: $R = \frac{D}{2} = \frac{34}{2} = 17$ см.

Линия пересечения сферы с плоскостью является окружностью. Длина этой окружности $L$ дана в условии и составляет $16\pi$ см. Формула длины окружности: $L = 2\pi r$, где $r$ – радиус этой окружности. Найдем радиус окружности сечения $r$: $16\pi = 2\pi r$ $r = \frac{16\pi}{2\pi} = 8$ см.

Радиус сферы $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра сферы до плоскости сечения $d$ связаны соотношением по теореме Пифагора. Они образуют прямоугольный треугольник, где $R$ – гипотенуза, а $d$ и $r$ – катеты. $R^2 = d^2 + r^2$ Отсюда найдем искомое расстояние $d$: $d^2 = R^2 - r^2$ $d^2 = 17^2 - 8^2$ $d^2 = 289 - 64$ $d^2 = 225$ $d = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол $60^\circ$. Найдите радиус шара, если площадь сечения шара этой плоскостью равна $64\pi \text{ см}^2$.

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол 60°. Найдите радиус шара, если площадь сечения шара этой плоскостью равна $64\pi \text{ cm}^2$.

Пусть $R$ — искомый радиус шара, а $r$ — радиус сечения шара плоскостью. По условию, площадь сечения $S_{сеч} = 64\pi \text{ см}^2$. Угол между радиусом шара, проведенным в точку на окружности сечения, и плоскостью сечения составляет $60^\circ$.

1. Нахождение радиуса сечения

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь круга вычисляется по формуле $S_{сеч} = \pi r^2$. Используя данные из условия, найдем радиус этого круга $r$:

$\pi r^2 = 64\pi$

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получаем:

$r^2 = 64$

$r = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$

2. Нахождение радиуса шара

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют радиус шара $R$ (гипотенуза), радиус сечения $r$ (катет) и расстояние от центра шара до плоскости сечения (второй катет). Угол между радиусом шара $R$ (гипотенузой) и плоскостью сечения (в которой лежит катет $r$) по условию равен $60^\circ$. Таким образом, катет $r$ является прилежащим к этому углу.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике следует соотношение:

$\cos(60^\circ) = \frac{r}{R}$

Отсюда выразим радиус шара $R$:

$R = \frac{r}{\cos(60^\circ)}$

Подставим известные значения $r=8$ см и $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ в формулу:

$R = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16 \text{ см}$

Ответ: 16 см.

183. Площадь большого круга шара равна S, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{2}{3}S$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

183. Площадь большого круга шара равна $S$, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{2}{3}S$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

Пусть $R$ — радиус шара, $r$ — радиус сечения, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Площадь большого круга шара, радиус которого равен радиусу шара $R$, задана как $S$. Таким образом, мы можем записать: $S = \pi R^2$.

Площадь сечения шара плоскостью, которое также является кругом, но с радиусом $r$, по условию равна $S_{сеч} = \frac{2}{3}S$. Формула для площади этого сечения: $S_{сеч} = \pi r^2$.

Используя данные условия, установим связь между радиусами $R$ и $r$. Приравняем выражение для площади сечения к его значению через $S$:
$\pi r^2 = \frac{2}{3}S$
Теперь подставим в это равенство $S = \pi R^2$:
$\pi r^2 = \frac{2}{3}(\pi R^2)$
Сокращая $\pi$ в обеих частях уравнения, получаем соотношение между квадратами радиусов:
$r^2 = \frac{2}{3}R^2$

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике радиус шара $R$ является гипотенузой, а радиус сечения $r$ и расстояние $d$ — катетами. Согласно теореме Пифагора:
$d^2 + r^2 = R^2$

Выразим из этой формулы $d^2$ и подставим в него найденное ранее выражение для $r^2$:
$d^2 = R^2 - r^2 = R^2 - \frac{2}{3}R^2 = (1 - \frac{2}{3})R^2 = \frac{1}{3}R^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим $d$:
$d = \sqrt{\frac{R^2}{3}} = \frac{R}{\sqrt{3}}$

Чтобы получить ответ, выраженный через заданную площадь $S$, необходимо выразить $R$ через $S$. Из формулы $S = \pi R^2$ получаем:
$R^2 = \frac{S}{\pi} \implies R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$
Наконец, подставим это выражение для $R$ в формулу для $d$:
$d = \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{S}{3\pi}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{S}{3\pi}}$

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении $3 : 4 : 7$. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении 3 : 4 : 7. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

Пусть диаметр шара равен $D$, а радиус равен $R$. Диаметр разделён двумя точками на три части, длины которых соотносятся как $3:4:7$.

Введём коэффициент пропорциональности $k$. Тогда длины этих трёх частей будут равны $3k$, $4k$ и $7k$. Длина всего диаметра $D$ равна сумме длин его частей: $D = 3k + 4k + 7k = 14k$.

Радиус шара $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{14k}{2} = 7k$.

Для удобства расположим центр шара в начале координат (0), а данный диаметр — вдоль оси координат. Концы диаметра будут находиться в точках с координатами $-R$ и $R$, то есть $-7k$ и $7k$.

Найдём координаты двух точек, которые делят диаметр. Будем считать, что отрезки расположены в заданном порядке, начиная от одного из концов диаметра, например, от точки с координатой $-7k$.

• Координата первой точки деления $x_1$: $x_1 = -7k + 3k = -4k$.
• Координата второй точки деления $x_2$: $x_2 = x_1 + 4k = -4k + 4k = 0$.

Таким образом, одна точка деления находится на расстоянии $h_1 = |-4k| = 4k$ от центра шара, а вторая точка совпадает с центром шара, то есть расстояние от центра $h_2 = 0$.

Сечения шара, проходящие через эти точки перпендикулярно диаметру, являются кругами. Площадь сечения $S$ на расстоянии $h$ от центра шара с радиусом $R$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус сечения. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием $h$, следует, что $r^2 = R^2 - h^2$.

Найдём площадь первого сечения $S_1$, которое находится на расстоянии $h_1 = 4k$ от центра:

$S_1 = \pi (R^2 - h_1^2) = \pi ((7k)^2 - (4k)^2) = \pi (49k^2 - 16k^2) = 33\pi k^2$.

Найдём площадь второго сечения $S_2$, которое находится на расстоянии $h_2 = 0$ от центра (это сечение является большим кругом шара):

$S_2 = \pi (R^2 - h_2^2) = \pi ((7k)^2 - 0^2) = \pi (49k^2) = 49\pi k^2$.

Теперь найдём отношение площадей этих сечений:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{33\pi k^2}{49\pi k^2} = \frac{33}{49}$.

Ответ: $33:49$.

185. Вершины равностороннего треугольника со стороной 9 см лежат на поверхности шара, а расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 3 см. Найдите радиус шара.

185. Вершины равностороннего треугольника со стороной 9 см лежат на поверхности шара, а расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 3 см. Найдите радиус шара.

Пусть $R$ – искомый радиус шара, $a$ – сторона равностороннего треугольника, $d$ – расстояние от центра шара до плоскости треугольника. По условию задачи нам дано: $a = 9$ см, $d = 3$ см.

Вершины треугольника лежат на поверхности шара. Это означает, что треугольник вписан в окружность, которая является сечением шара плоскостью этого треугольника. Обозначим радиус этой окружности как $r$. Этот радиус является радиусом описанной около треугольника окружности.

Найдем радиус $r$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$. Формула для вычисления этого радиуса:
$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Подставим известное значение стороны $a = 9$ см:
$r = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием $d$ от центра шара до плоскости треугольника. В этом треугольнике:
- радиус шара $R$ является гипотенузой;
- расстояние $d$ является одним катетом;
- радиус сечения $r$ является вторым катетом.
Согласно теореме Пифагора, мы можем записать:
$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим значения $d = 3$ см и $r = 3\sqrt{3}$ см в эту формулу:
$R^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2$
$R^2 = 9 + 9 \cdot 3$
$R^2 = 9 + 27$
$R^2 = 36$
$R = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

186. Вершины треугольника со стороной $6$ см и противолежащим ей углом $120^\circ$ лежат на поверхности шара, радиус которого равен $4$ см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

186. Вершины треугольника со стороной $6 \text{ см}$ и противолежащим ей углом $120^\circ$ лежат на поверхности шара, радиус которого равен $4 \text{ см}$. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Вершины треугольника лежат на поверхности шара, следовательно, они лежат на окружности, которая является сечением шара плоскостью этого треугольника. Эта окружность является описанной около треугольника. Пусть $R$ — это радиус шара, $r$ — радиус описанной окружности треугольника, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости треугольника. Эти величины образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой, а $r$ и $d$ — катетами. По теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$.

Для нахождения расстояния $d$ нам необходимо сначала вычислить радиус описанной окружности $r$. Используем для этого обобщенную теорему синусов для треугольника:
$\frac{a}{\sin \alpha} = 2r$, где $a$ — сторона треугольника, $\alpha$ — противолежащий ей угол, $r$ — радиус описанной окружности.
По условию задачи даны сторона $a = 6$ см и противолежащий ей угол $\alpha = 120^\circ$.
Найдем синус угла $120^\circ$: $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь подставим известные значения в формулу:
$2r = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$2r = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$
Отсюда находим радиус описанной окружности:
$r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус шара $R = 4$ см и радиус описанной окружности $r = 2\sqrt{3}$ см, мы можем найти расстояние $d$ из соотношения $d^2 = R^2 - r^2$:
$d^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2$
$d^2 = 16 - (4 \cdot 3)$
$d^2 = 16 - 12$
$d^2 = 4$
$d = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

187. Составьте уравнение сферы с центром в точке $B(4; -8; 5)$, которая касается плоскости $xz$.

187. Составьте уравнение сферы с центром в точке $B (4; -8; 5)$, которая касается плоскости $xz$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Из условия задачи нам известны координаты центра сферы — точка $B(4; -8; 5)$. Таким образом, мы имеем:
$x_0 = 4$
$y_0 = -8$
$z_0 = 5$

Сфера касается плоскости $xz$. Уравнение плоскости $xz$ — это $y=0$, поскольку все точки, лежащие в этой плоскости, имеют координату $y$, равную нулю.

Так как сфера касается плоскости, ее радиус $R$ будет равен расстоянию от центра сферы до этой плоскости. Расстояние от точки $B(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $y=0$ равно абсолютному значению ее координаты $y_0$.
$R = |y_0| = |-8| = 8$

Теперь, зная координаты центра и радиус, мы можем составить уравнение сферы, подставив эти значения в общую формулу:
$(x - 4)^2 + (y - (-8))^2 + (z - 5)^2 = 8^2$
$(x - 4)^2 + (y + 8)^2 + (z - 5)^2 = 64$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 8)^2 + (z - 5)^2 = 64$