Номер 179, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку P (6; -8; 3), центр сферы принадлежит оси аппликат, а радиус сферы равен $\sqrt{109}$.

179. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку P (6; -8; 3), центр сферы принадлежит оси аппликат, а радиус сферы равен $\sqrt{109}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр сферы принадлежит оси аппликат (оси Oz). Это означает, что координаты центра сферы имеют вид $C(0; 0; z_0)$.

Радиус сферы известен и равен $R = \sqrt{109}$, следовательно, квадрат радиуса $R^2 = (\sqrt{109})^2 = 109$.

Подставим известные данные в общее уравнение сферы:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - z_0)^2 = 109$

$x^2 + y^2 + (z - z_0)^2 = 109$

Сфера проходит через точку $P(6; -8; 3)$. Это значит, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим координаты точки $P$ в полученное уравнение, чтобы найти неизвестную координату центра $z_0$:

$6^2 + (-8)^2 + (3 - z_0)^2 = 109$

$36 + 64 + (3 - z_0)^2 = 109$

$100 + (3 - z_0)^2 = 109$

Вычтем 100 из обеих частей уравнения:

$(3 - z_0)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, что даст два возможных случая:

1) $3 - z_0 = 3 \implies z_0 = 3 - 3 \implies z_0 = 0$. В этом случае центр сферы находится в точке $C_1(0; 0; 0)$.

2) $3 - z_0 = -3 \implies z_0 = 3 + 3 \implies z_0 = 6$. В этом случае центр сферы находится в точке $C_2(0; 0; 6)$.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две сферы. Запишем уравнения для каждой из них.

Для центра $C_1(0; 0; 0)$ уравнение сферы имеет вид:

$x^2 + y^2 + z^2 = 109$

Для центра $C_2(0; 0; 6)$ уравнение сферы имеет вид:

$x^2 + y^2 + (z - 6)^2 = 109$

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = 109$ или $x^2 + y^2 + (z - 6)^2 = 109$.