Номер 186, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

186. Вершины треугольника со стороной $6$ см и противолежащим ей углом $120^\circ$ лежат на поверхности шара, радиус которого равен $4$ см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

186. Вершины треугольника со стороной $6 \text{ см}$ и противолежащим ей углом $120^\circ$ лежат на поверхности шара, радиус которого равен $4 \text{ см}$. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Вершины треугольника лежат на поверхности шара, следовательно, они лежат на окружности, которая является сечением шара плоскостью этого треугольника. Эта окружность является описанной около треугольника. Пусть $R$ — это радиус шара, $r$ — радиус описанной окружности треугольника, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости треугольника. Эти величины образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой, а $r$ и $d$ — катетами. По теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$.

Для нахождения расстояния $d$ нам необходимо сначала вычислить радиус описанной окружности $r$. Используем для этого обобщенную теорему синусов для треугольника:
$\frac{a}{\sin \alpha} = 2r$, где $a$ — сторона треугольника, $\alpha$ — противолежащий ей угол, $r$ — радиус описанной окружности.
По условию задачи даны сторона $a = 6$ см и противолежащий ей угол $\alpha = 120^\circ$.
Найдем синус угла $120^\circ$: $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь подставим известные значения в формулу:
$2r = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$2r = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$
Отсюда находим радиус описанной окружности:
$r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус шара $R = 4$ см и радиус описанной окружности $r = 2\sqrt{3}$ см, мы можем найти расстояние $d$ из соотношения $d^2 = R^2 - r^2$:
$d^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2$
$d^2 = 16 - (4 \cdot 3)$
$d^2 = 16 - 12$
$d^2 = 4$
$d = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.