Номер 189, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. К сфере радиуса 15 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости выбрали точку K такую, что расстояние от неё до ближайшей к ней точки сферы равно 2 см. Найдите расстояние от точки K до точки касания сферы с плоскостью и расстояние от точки K до наиболее удалённой от неё точки сферы.

189. К сфере радиуса 15 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости выбрали точку K такую, что расстояние от неё до ближайшей к ней точки сферы равно 2 см. Найдите расстояние от точки K до точки касания сферы с плоскостью и расстояние от точки K до наиболее удалённой от неё точки сферы.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — ее радиус, $\alpha$ — касательная плоскость, а $T$ — точка касания. По условию, радиус сферы $R = 15$ см. Точка $K$ находится в касательной плоскости $\alpha$.

Ближайшая к точке $K$ точка на сфере (назовем ее $A$) и наиболее удаленная от $K$ точка на сфере (назовем ее $B$) лежат на прямой, проходящей через центр сферы $O$ и точку $K$.

Расстояние от точки $K$ до ближайшей к ней точки $A$ на сфере вычисляется как разность расстояния от центра сферы до точки $K$ и радиуса сферы: $KA = OK - R$.

По условию задачи, это расстояние равно 2 см, то есть $KA = 2$ см. Используя это, найдем расстояние от центра сферы до точки $K$:

$OK - R = 2$

$OK - 15 = 2$

$OK = 17$ см.

Теперь мы можем найти требуемые расстояния.

Расстояние от точки К до точки касания сферы с плоскостью

Рассмотрим треугольник $\triangle OTK$. Радиус $OT$, проведенный в точку касания $T$, перпендикулярен касательной плоскости $\alpha$. Поскольку отрезок $KT$ лежит в плоскости $\alpha$, то $OT \perp KT$. Следовательно, треугольник $\triangle OTK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

В этом треугольнике:

• $OT$ — катет, равный радиусу сферы, $OT = R = 15$ см.
• $OK$ — гипотенуза, расстояние от центра сферы до точки $K$, $OK = 17$ см.
• $KT$ — второй катет, искомое расстояние от точки $K$ до точки касания $T$.

По теореме Пифагора: $OK^2 = OT^2 + KT^2$.

Отсюда находим $KT$:

$KT^2 = OK^2 - OT^2$

$KT^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

$KT = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

Расстояние от точки К до наиболее удалённой от неё точки сферы

Наиболее удаленная от точки $K$ точка сферы, $B$, лежит на прямой $OK$ на продолжении отрезка $OK$ за центром $O$. Расстояние $KB$ равно сумме расстояния от точки $K$ до центра сферы $O$ и радиуса сферы $R$.

$KB = OK + R$

Подставляем известные значения $OK = 17$ см и $R = 15$ см:

$KB = 17 + 15 = 32$ см.

Ответ: 32 см.