Номер 195, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду. Радиусы сечений равны 9 см и 13 см, а радиус шара — 15 см. Найдите общую хорду сечений.

195. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду. Радиусы сечений равны 9 см и 13 см, а радиус шара — 15 см. Найдите общую хорду сечений.

Пусть $R$ — радиус шара, $r_1$ и $r_2$ — радиусы сечений. По условию задачи дано:

• Радиус шара $R = 15$ см.
• Радиус первого сечения $r_1 = 9$ см.
• Радиус второго сечения $r_2 = 13$ см.
• Плоскости сечений взаимно перпендикулярны.

Сечение шара плоскостью всегда является кругом. Связь между радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием $d$ от центра шара до плоскости сечения описывается теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом сечения и перпендикуляром из центра шара к плоскости сечения:$R^2 = r^2 + d^2$.

Найдем расстояния $d_1$ и $d_2$ от центра шара до плоскостей каждого из двух сечений.
Для первого сечения:
$d_1^2 = R^2 - r_1^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$.
Отсюда $d_1 = \sqrt{144} = 12$ см.

Для второго сечения:
$d_2^2 = R^2 - r_2^2 = 15^2 - 13^2 = 225 - 169 = 56$.
Отсюда $d_2 = \sqrt{56}$ см.

Для нахождения длины общей хорды введем прямоугольную систему координат. Поместим центр шара $O$ в начало координат $(0, 0, 0)$. Поскольку плоскости сечений перпендикулярны, мы можем сориентировать оси координат так, чтобы эти плоскости были параллельны координатным плоскостям. Пусть плоскость первого сечения перпендикулярна оси $Ox$, а плоскость второго сечения — оси $Oy$. Тогда их уравнения будут:
Плоскость 1: $x = d_1 = 12$.
Плоскость 2: $y = d_2 = \sqrt{56}$.

Общая хорда сечений принадлежит линии пересечения этих двух плоскостей. Это означает, что для любой точки $(x, y, z)$, лежащей на этой хорде, выполняются оба условия: $x=12$ и $y=\sqrt{56}$.

Концы общей хорды также лежат на поверхности шара. Уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом $R=15$ имеет вид:
$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, то есть $x^2 + y^2 + z^2 = 225$.

Подставим известные координаты $x$ и $y$ в уравнение сферы, чтобы найти $z$-координаты концов хорды:
$12^2 + (\sqrt{56})^2 + z^2 = 225$
$144 + 56 + z^2 = 225$
$200 + z^2 = 225$
$z^2 = 225 - 200 = 25$
$z = \pm\sqrt{25} = \pm 5$.

Таким образом, концы общей хорды имеют координаты $(12, \sqrt{56}, 5)$ и $(12, \sqrt{56}, -5)$. Длина хорды — это расстояние между этими двумя точками. Так как у них отличаются только $z$-координаты, длина хорды равна модулю разности этих координат:
$L = |5 - (-5)| = 10$ см.

Ответ: 10 см.