Номер 202, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. Высота правильной пирамиды равна $h$, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

202. Высота правильной пирамиды равна $h$, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $\gamma$. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть $S$ - вершина правильной пирамиды, $O$ - центр ее основания, а $A$ - одна из вершин основания. Тогда $SO$ - высота пирамиды, и по условию $SO = h$. Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания - это угол между ребром $SA$ и его проекцией $OA$ на эту плоскость, то есть $\angle SAO = \gamma$. Треугольник $\triangle SOA$ является прямоугольным ($\angle SOA = 90^\circ$).

Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Обозначим центр шара буквой $K$, а его радиус - $R$. Таким образом, точка $K$ лежит на прямой $SO$.

Для нахождения радиуса $R$ рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и две диаметрально противоположные вершины основания, $A$ и $A'$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $\triangle ASA'$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанного шара, и ее радиус равен $R$.

Найдем стороны треугольника $\triangle ASA'$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$:

1. Катет $OA$ является радиусом окружности, описанной около основания пирамиды.$OA = \frac{SO}{\tan(\angle SAO)} = \frac{h}{\tan \gamma} = h \cot \gamma$.Тогда основание осевого сечения $AA' = 2 \cdot OA = 2h \cot \gamma$.

2. Гипотенуза $SA$ является боковым ребром пирамиды.$SA = \frac{SO}{\sin(\angle SAO)} = \frac{h}{\sin \gamma}$.В равнобедренном треугольнике $\triangle ASA'$ боковые стороны равны $SA = SA' = \frac{h}{\sin \gamma}$.

Радиус $R$ описанной окружности для треугольника $\triangle ASA'$ можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S_{\triangle}}$, где $a, b, c$ - стороны треугольника, а $S_{\triangle}$ - его площадь.

Площадь треугольника $\triangle ASA'$:$S_{\triangle ASA'} = \frac{1}{2} \cdot AA' \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot (2h \cot \gamma) \cdot h = h^2 \cot \gamma$.

Подставим найденные значения в формулу для радиуса:$R = \frac{SA \cdot SA' \cdot AA'}{4 \cdot S_{\triangle ASA'}} = \frac{\frac{h}{\sin \gamma} \cdot \frac{h}{\sin \gamma} \cdot 2h \cot \gamma}{4 \cdot h^2 \cot \gamma}$.

Упростим выражение:$R = \frac{\frac{2h^3 \cot \gamma}{\sin^2 \gamma}}{4h^2 \cot \gamma} = \frac{2h^3 \cot \gamma}{4h^2 \cot \gamma \sin^2 \gamma} = \frac{2h^3}{4h^2 \sin^2 \gamma} = \frac{h}{2\sin^2 \gamma}$.

Ответ: $R = \frac{h}{2\sin^2 \gamma}$.