Номер 203, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 4 см. Найдите сторону основания пирамиды.

203. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 4 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — вершина. Пусть сторона основания равна $a$. Точка $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$), $SO$ — высота пирамиды $H$.

Боковое ребро, например $SA$, наклонено к плоскости основания под углом $\angle SAO$. По условию, этот угол равен $45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Поскольку один из острых углов $\angle SAO = 45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным, и, следовательно, его катеты равны: $SO = AO$.

Отрезок $AO$ является половиной диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.Следовательно, $AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Так как $H = SO = AO$, то высота пирамиды $H = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте. Радиус $R$ описанной сферы для правильной пирамиды можно найти по формуле:$R = \frac{b^2}{2H}$, где $b$ — длина бокового ребра.

Найдём длину бокового ребра $b = SA$ из прямоугольного треугольника $\triangle SAO$ по теореме Пифагора:$b^2 = SA^2 = AO^2 + SO^2$$b^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2$.Отсюда следует, что $b = a$.

Теперь подставим найденные значения $b=a$ и $H=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ в формулу для радиуса описанной сферы:$R = \frac{a^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

По условию задачи радиус сферы $R = 4$ см. Составим уравнение и найдём сторону основания $a$:$\frac{a}{\sqrt{2}} = 4$$a = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.