Номер 204, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого равен $135^\circ$, а противолежащая ему сторона — $8\sqrt{6}$ см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

204. Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого равен $135^{\circ}$, а противолежащая ему сторона $-$ $8\sqrt{6}$ см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

Пусть основанием пирамиды является треугольник $ABC$, в котором $\angle A = 135^\circ$, а противолежащая ему сторона $a = BC = 8\sqrt{6}$ см. Пусть $S$ – вершина пирамиды.

Поскольку каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $60^\circ$, то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. Таким образом, $SO = H$ – высота пирамиды, а $OA = OB = OC = R_{base}$ – радиус описанной окружности основания.

1. Найдем радиус описанной окружности основания $R_{base}$ по теореме синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{a}{\sin A} = 2R_{base}$

Подставим известные значения, учитывая, что $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$R_{base} = \frac{a}{2\sin A} = \frac{8\sqrt{6}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{3}$ см.

2. Найдем высоту пирамиды $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Угол между боковым ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания $OA$ равен $\angle SAO = 60^\circ$. Катет $OA = R_{base} = 8\sqrt{3}$ см, а катет $SO = H$. Из определения тангенса:

$\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA} \implies H = SO = OA \cdot \tan(60^\circ)$

$H = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24$ см.

3. Центр шара $O_{sph}$, описанного около пирамиды, является точкой, равноудаленной от всех ее вершин. Эта точка лежит на перпендикуляре к плоскости основания, восстановленном из центра описанной окружности, то есть на прямой, содержащей высоту $SO$.

Пусть $d$ – искомое расстояние от центра шара $O_{sph}$ до плоскости основания, то есть $d = |O_{sph}O|$. Пусть $R_{sph}$ – радиус описанного шара. Тогда $R_{sph} = O_{sph}S = O_{sph}A$.

Из прямоугольного треугольника $O_{sph}OA$ по теореме Пифагора имеем:

$R_{sph}^2 = (O_{sph}O)^2 + (OA)^2 = d^2 + R_{base}^2$

С другой стороны, расстояние от центра шара до вершины $S$ равно $R_{sph} = |SO - O_{sph}O| = |H - d|$.

Приравнивая выражения для квадрата радиуса, получаем уравнение:

$(H - d)^2 = d^2 + R_{base}^2$

$H^2 - 2Hd + d^2 = d^2 + R_{base}^2$

$H^2 - 2Hd = R_{base}^2$

$2Hd = H^2 - R_{base}^2$

$d = \frac{H^2 - R_{base}^2}{2H}$

4. Подставим найденные значения $H = 24$ см и $R_{base} = 8\sqrt{3}$ см:

$d = \frac{24^2 - (8\sqrt{3})^2}{2 \cdot 24} = \frac{576 - (64 \cdot 3)}{48} = \frac{576 - 192}{48} = \frac{384}{48} = 8$ см.

Ответ: 8 см.