Номер 205, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Стороны оснований правильной шестиугольной усечённой пирамиды равны 2 см и 6 см, а боковое ребро — $2\sqrt{17}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

205. Стороны оснований правильной шестиугольной усечённой пирамиды равны 2 см и 6 см, а боковое ребро — $2\sqrt{17}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Для нахождения радиуса $R$ описанного шара, воспользуемся тем фактом, что центр описанного шара для правильной усеченной пирамиды лежит на ее высоте и равноудален от всех вершин пирамиды.

Рассмотрим осевое сечение усеченной пирамиды, проходящее через противоположные вершины оснований. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, вершины которой лежат на описанной сфере. Окружность, описанная около этой трапеции, является большим кругом описанной сферы, а ее радиус равен радиусу сферы $R$.

1. Найдем радиусы окружностей, описанных около оснований пирамиды.

Основаниями являются правильные шестиугольники. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне.

Пусть $a_1$ — сторона верхнего (меньшего) основания, $a_2$ — сторона нижнего (большего) основания.
По условию, $a_1 = 2$ см и $a_2 = 6$ см.
Радиус окружности, описанной около верхнего основания: $R_1 = a_1 = 2$ см.
Радиус окружности, описанной около нижнего основания: $R_2 = a_2 = 6$ см.

Эти радиусы являются расстояниями от центров оснований до их вершин.

2. Найдем высоту усеченной пирамиды $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $l$, высотой пирамиды $h$ и разностью радиусов описанных окружностей оснований $(R_2 - R_1)$. В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой.

По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (R_2 - R_1)^2$

По условию, $l = 2\sqrt{17}$ см. Подставим известные значения:$(2\sqrt{17})^2 = h^2 + (6 - 2)^2$$4 \cdot 17 = h^2 + 4^2$$68 = h^2 + 16$$h^2 = 68 - 16 = 52$$h = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

3. Найдем радиус описанного шара $R$.

Пусть центр описанного шара $O$ находится на высоте пирамиды на расстоянии $x$ от центра большего основания. Тогда расстояние от центра шара до плоскости меньшего основания будет $(h - x)$.

Так как все вершины пирамиды лежат на сфере, расстояние от центра шара до любой вершины большего основания и до любой вершины меньшего основания равно радиусу шара $R$.

Для вершины большего основания (рассматриваем прямоугольный треугольник с катетами $R_2$ и $x$):$R^2 = R_2^2 + x^2$

Для вершины меньшего основания (рассматриваем прямоугольный треугольник с катетами $R_1$ и $h-x$):$R^2 = R_1^2 + (h - x)^2$

Приравняем правые части уравнений:$R_2^2 + x^2 = R_1^2 + (h - x)^2$$R_2^2 + x^2 = R_1^2 + h^2 - 2hx + x^2$$R_2^2 = R_1^2 + h^2 - 2hx$

Выразим $x$:$2hx = R_1^2 + h^2 - R_2^2$$x = \frac{R_1^2 + h^2 - R_2^2}{2h}$

Подставим числовые значения:$x = \frac{2^2 + 52 - 6^2}{2 \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{4 + 52 - 36}{4\sqrt{13}} = \frac{20}{4\sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}}$

Теперь найдем $R^2$, используя первое уравнение $R^2 = R_2^2 + x^2$:$R^2 = 6^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{13}}\right)^2 = 36 + \frac{25}{13}$$R^2 = \frac{36 \cdot 13 + 25}{13} = \frac{468 + 25}{13} = \frac{493}{13}$

Тогда радиус шара $R$ равен:$R = \sqrt{\frac{493}{13}}$ см.

Ответ: $R = \sqrt{\frac{493}{13}}$ см.