Номер 207, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Основанием прямой призмы является треугольник со сторонами 26 см, 28 см и 30 см. В призму вписан шар. Найдите радиус этого шара.

207. Основанием прямой призмы является треугольник со сторонами 26 см, 28 см и 30 см. В призму вписан шар. Найдите радиус этого шара.

Пусть $R$ — радиус шара, вписанного в прямую призму. Для того чтобы шар можно было вписать в прямую призму, он должен касаться её верхнего и нижнего оснований, а также всех боковых граней.

Из условия касания шаром боковых граней следует, что его центр равноудален от них. Это означает, что проекция центра шара на плоскость основания совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник основания. Радиус шара $R$ при этом равен радиусу $r$ этой вписанной окружности.

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в треугольник, который является основанием призмы. Стороны этого треугольника равны $a = 26$ см, $b = 28$ см и $c = 30$ см.

Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Вычисление полупериметра треугольника ($p$)
Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон.
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26+28+30}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

2. Вычисление площади треугольника ($S$)
Так как известны все три стороны, для нахождения площади воспользуемся формулой Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Подставим известные значения:
$S = \sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)} = \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12}$
Разложим числа под корнем на множители для упрощения вычисления:
$S = \sqrt{(6 \cdot 7) \cdot 16 \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 6)} = \sqrt{6^2 \cdot 7^2 \cdot 16 \cdot 4} = \sqrt{6^2 \cdot 7^2 \cdot 4^2 \cdot 2^2}$
Извлекаем квадратный корень:
$S = 6 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 2 = 336$ см$^2$.

3. Вычисление радиуса вписанного шара ($R$)
Теперь, зная площадь и полупериметр, находим радиус вписанной окружности $r$, который равен искомому радиусу шара $R$.
$R = r = \frac{S}{p} = \frac{336}{42} = 8$ см.

Ответ: 8 см.