Номер 213, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен $r$. Найдите боковую сторону основания пирамиды.

213. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен $r$. Найдите боковую сторону основания пирамиды.

Пусть основанием пирамиды $SABC$ является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB=BC=b$, а угол при основании $AC$ равен $\alpha$, т.е. $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, вписанной в треугольник основания $ABC$. Высота пирамиды $SO = H$, а радиус вписанной в основание окружности $r_{осн} = OM$, где $M$ — основание апофемы $SM$ на стороне $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. Угол $\angle SMO = \beta$ — это линейный угол двугранного угла при ребре $AC$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$H = SO = OM \cdot \tan(\beta) = r_{осн} \cdot \tan(\beta)$

Центр вписанного в пирамиду шара, точка $I$, лежит на высоте $SO$. Радиус шара $r$ — это расстояние от точки $I$ до всех граней пирамиды. Таким образом, расстояние от $I$ до плоскости основания равно $r$, то есть $IO=r$. Расстояние от $I$ до боковой грани $SAC$ также равно $r$. Это расстояние равно длине перпендикуляра $IP$, опущенного из точки $I$ на апофему $SM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SIP$, где $P$ — проекция $I$ на $SM$. В нем $IP=r$, а гипотенуза $SI = SO - IO = H-r$. Угол $\angle IS P$ равен углу $\angle OSM$, который в свою очередь равен $90^\circ - \beta$. Тогда:

$\sin(\angle ISP) = \frac{IP}{SI} \implies \sin(90^\circ - \beta) = \frac{r}{H-r} \implies \cos(\beta) = \frac{r}{H-r}$

Из этого соотношения выразим высоту пирамиды $H$:

$H-r = \frac{r}{\cos(\beta)} \implies H = r + \frac{r}{\cos(\beta)} = r \frac{1+\cos(\beta)}{\cos(\beta)}$

Теперь приравняем два полученных выражения для высоты $H$:

$r_{осн} \cdot \tan(\beta) = r \frac{1+\cos(\beta)}{\cos(\beta)}$

$r_{осн} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = r \frac{1+\cos(\beta)}{\cos(\beta)}$

$r_{осн} = r \frac{1+\cos(\beta)}{\sin(\beta)}$

Используя формулы половинного угла $1+\cos(\beta) = 2\cos^2(\frac{\beta}{2})$ и $\sin(\beta) = 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$, получаем:

$r_{осн} = r \frac{2\cos^2(\frac{\beta}{2})}{2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})} = r \cot(\frac{\beta}{2})$

Теперь найдем боковую сторону $b$ основания. Для треугольника $ABC$ радиус вписанной окружности $r_{осн}$ выражается через его площадь $S_{ABC}$ и полупериметр $p$: $S_{ABC} = p \cdot r_{осн}$.

Выразим площадь и полупериметр через $b$ и $\alpha$:

Основание $AC = 2 \cdot (b \cos(\alpha))$.

Полупериметр $p = \frac{AB+BC+AC}{2} = \frac{b+b+2b\cos(\alpha)}{2} = b(1+\cos(\alpha))$.

Высота $BM = b \sin(\alpha)$.

Площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BM = \frac{1}{2} (2b\cos(\alpha))(b\sin(\alpha)) = b^2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Теперь из формулы $r_{осн} = S_{ABC}/p$ выразим $b$:

$r_{осн} = \frac{b^2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{b(1+\cos(\alpha))} = \frac{b\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}$

$b = r_{осн} \frac{1+\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Подставим ранее найденное выражение для $r_{осн}$:

$b = r \cot(\frac{\beta}{2}) \frac{1+\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Упростим выражение, используя формулы половинного угла для $\alpha$: $\frac{1+\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Окончательно получаем:

$b = r \cot(\frac{\beta}{2}) \frac{\cot(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\alpha)}$

Ответ: Боковая сторона основания пирамиды равна $r \cot(\frac{\beta}{2}) \frac{\cot(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\alpha)}$.