Номер 217, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Радиус основания конуса равен 8 см, а его осевое сечение — прямоугольный треугольник. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

217. Радиус основания конуса равен 8 см, а его осевое сечение — прямоугольный треугольник. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

Пусть $r$ — радиус основания конуса, $h$ — его высота, $l$ — его образующая, а $R$ — радиус описанного около конуса шара.

Из условия задачи известно, что радиус основания конуса $r = 8$ см.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса $d=2r$, а боковыми сторонами — образующие конуса $l$.

По условию, это осевое сечение является прямоугольным треугольником. В равнобедренном треугольнике прямым может быть только угол при вершине, противолежащий основанию. Следовательно, образующие конуса перпендикулярны друг другу, а диаметр основания конуса является гипотенузой этого прямоугольного треугольника.

Длина гипотенузы (диаметра основания конуса) равна $d = 2r = 2 \times 8 = 16$ см.

Шар называется описанным около конуса, если вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности шара. Это означает, что осевое сечение конуса вписано в большую окружность шара (окружность, получаемую при сечении шара плоскостью, проходящей через его центр). Таким образом, радиус описанного шара $R$ равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Так как гипотенузой осевого сечения является диаметр основания конуса $d$, то радиус описанного шара $R$ вычисляется как:

$R = \frac{1}{2} d = \frac{1}{2} (2r) = r$

Подставляя значение радиуса основания конуса, находим радиус описанного шара:

$R = 8$ см.

Ответ: 8 см.